4-вектор

4-вектор (четы́ре-ве́ктор, четырёхве́ктор) — вектор в четырёхмерном пространстве Минковского, а в более общем случае — вектор в искривлённом четырёхмерном пространстве-времени. Компоненты любого 4-вектора, описывающего физическую систему, при переносе или повороте системы отсчёта, а также при переходе из одной системы отсчёта в другую преобразуются по одному и тому закону, задаваемому преобразованием системы отсчёта. В 4-векторе одна временная компонента и три пространственных. Пространственные компоненты составляют обычный пространственный трёхмерный вектор, компоненты которого могут быть выражены в декартовых, цилиндрических, сферических и в любых других пространственных координатах.

В случае плоского пространства и инерциальных систем отсчёта, как в электродинамике, специальной теории относительности и вообще в случаях, когда гравитацией можно пренебречь, ковариантное и контравариантное представление отличаются лишь знаком временно́й (или наоборот, в зависимости от условно принятой сигнатуры — пространственных) компоненты. При этом скалярное произведение представимо как простая сумма произведений соответствующих компонент только для произведения ковариантного вектора с контравариантным, например:

(здесь и ниже использовано , а возведение в квадрат обозначено как (…)²).

(оба способа эквивалентны друг другу и описанному выше способу со обоими типами координат).

в более общем случае нелоренцевых систем отсчёта, в том числе при учёте гравитации в соответствии с ОТОв случае лоренцевой метрики, рассмотренном выше, нередко используют только нижние индексы

Точка в пространстве Минковского называется событием и задаётся четырьмя координатами:

Многие другие 4-векторы могут быть построены из него и далее друг из друга сложением, вычитанием, умножением или делением на скаляр, а также дифференцированием по скаляру и т. п. Так из 4-радиус-вектора дифференцированием по собственному времени получается 4-скорость, и т. д.

Скалярные произведения 4-векторов — лоренц-инвариантные величины (инварианты группы Лоренца), скаляры пространства Минковского.

4-векторы впервые рассмотрели Пуанкаре (1905) и затем Минковский. Они рассматривали временную компоненту 4-вектора чисто мнимой, что автоматически порождало нужное правило вычисления скалярного произведения при обычном суммировании произведений компонент. Термин «4-вектор» был предложен Арнольдом Зоммерфельдом в 1910 году.