Целое число

Це́лые чи́сла — расширение множества натуральных чисел[1], получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел[2]. Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью в общем случае вычесть из одного натурального числа другое — можно вычитать только меньшее число из большего. Введение нуля и отрицательных чисел делает вычитание такой же полноценной операцией, как сложение[3].

Вещественное число является целым, если его десятичное представление не содержит дробной части (но может содержать знак). Примеры вещественных чисел:

Согласно своему построению, множество целых чисел состоит из трёх частей:

Во множестве целых чисел определены три основные арифметические операции: сложение, обратное к сложению вычитание и умножение. Имеется также важная операция, специфическая для натуральных и целых чисел: деление с остатком. Наконец, для целых чисел определён порядок, позволяющий сравнивать числа друг с другом.

При сложении и вычитании целых чисел выполняются следующие правила знаков[7][8], которые следует учитывать при раскрытии скобок:

При умножении целых чисел выполняются правила знаков[7][8], которые следует учитывать при раскрытии скобок:

Следствие: произведение чисел с одинаковыми знаками положительно, с разными — отрицательно.

Возведение в натуральную степень целых чисел определяется так же, как и для натуральных чисел:

Свойства возведения в степень целых чисел также такие же, как у натуральных:

Целое число положительно, если оно больше нуля, отрицательно, если меньше нуля. Положительными целыми числами являются натуральные числа и только они. Отрицательные числа — это числа, противоположные положительным. Ноль не является ни положительным, ни отрицательным. Любое отрицательное число меньше любого положительного[2].

Здесь a — делимое, b — делитель, q — (неполное) частное, r — остаток от деления (всегда неотрицателен). Если остаток равен нулю, говорят, что деление выполняется нацело[11].

На операции деления с остатком основаны теория сравнений и алгоритм Евклида.

Понятие наибольшего общего делителя двух целых чисел, разложение целого числа на простые множители и основная теорема арифметики для целых чисел практически совпадают (с возможным учётом знака) с аналогами этих понятий для натуральных чисел[14].

Существуют практические задачи, в которых необходимо округлить вещественное значение до целого, то есть заменить его на ближайшее (в ту или иную сторону) целое. Поскольку выполнять округление можно разными способами, для уточнения можно использовать «символы Айверсона»[15]:

Другой класс задач, связывающих целые и вещественные числа — приближение вещественного числа отношением целых, то есть рациональным числом. Доказано, что любое вещественное число можно с любой желаемой точностью приблизить рациональным, наилучшим инструментом для такого приближения служат непрерывные (цепные) дроби[16].

Развитие математики началось с навыков практического счёта (один, два, три, четыре…), поэтому натуральные числа возникли ещё в доисторический период как идеализация конечного множества однородных, устойчивых и неделимых предметов (людей, овец, дней и т. п.). Сложение появилось как математическая модель таких важных событий, как объединение нескольких множеств (стад, мешков и т. д.) в одно, а вычитание отражало, наоборот, отделение части множества. Умножение для натуральных чисел появилось в качестве, так сказать, пакетного сложения: 3 × 4 означало сумму «3 раза по 4», то есть 4 + 4 + 4. Свойства и взаимосвязь операций открывались постепенно[17][18].

Начальным шагом на пути расширения натуральных чисел стало появление нуля; первыми этот символ стали применять, по-видимому, индийские математики. Вначале ноль применялся не как число, а как цифра при позиционной записи чисел, затем постепенно стал признаваться и как полноценное число, обозначающее отсутствие чего-либо (например, полное разорение торговца)[19].

Отрицательные числа впервые стали использовать в древнем Китае и в Индии, где их рассматривали как математический образ «долга». Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные. Исключение составлял Диофант, который в III веке уже знал «правило знаков» и умел умножать отрицательные числа. Однако он рассматривал их лишь как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата. Полезность и законность отрицательных чисел утверждались постепенно. Индийский математик Брахмагупта (VII век) уже рассматривал их наравне с положительными[20].

В Европе признание наступило на тысячу лет позже, да и то долгое время отрицательные числа называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными». Первое описание их в европейской литературе появилось в «Книге абака» Леонарда Пизанского (1202 год), который также трактовал отрицательные числа как долг. Бомбелли и Жирар в своих трудах считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения нехватки чего-либо. Свободно использовали отрицательные числа Никола Шюке (1484 год) и Михаэль Штифель (1544)[20].

Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке (Уильям Гамильтон и Герман Гюнтер Грассман)[25].

Целые числа широко применяются при исследовании объектов, которые по своей природе или по особенностям постановки задачи неделимы (например, люди, суда, строения, иногда дни и т. п.). Отрицательные числа также могут найти применение в таких моделях — скажем, при планировании торговых сделок можно продажи обозначать положительными числами, а покупки — отрицательными. Пример из физики — квантовые числа, играющие фундаментальную роль в микромире; все они — целые (или полуцелые) числа со знаком[26].

Для решения возникающих при этом задач разработаны специальные математические методы, учитывающие специфику проблем. В частности, решение в целых числах алгебраических уравнений (разных степеней) рассматривает теория «диофантовых уравнений»[27]. Вопросы целочисленной оптимизации исследует целочисленное программирование[28].

Тип целое число — зачастую один из основных типов данных в языках программирования. Целые типы данных обычно реализуются как фиксированный набор битов, один из которых кодирует знак числа, а прочие — двоичные цифры. Современные компьютеры имеют богатый набор команд для арифметических операций с целыми числами[29].

Расширение натуральных чисел до целых, как и любое другое расширение алгебраической структуры, ставит множество вопросов, основные из которых — как определить операции над новым типом чисел (например, как определить умножение отрицательных чисел), какие свойства они тогда будут иметь и (главный вопрос) допустимо ли такое расширение, не приведёт ли оно к неустранимым противоречиям. Для анализа подобных вопросов надо сформировать набор аксиом для целых чисел.

Приведённая аксиоматика целых чисел категорична, то есть любые её модели изоморфны как кольца[38].

Стандартный способ доказать непротиворечивость новой структуры — смоделировать (интерпретировать) её аксиомы с помощью объектов другой структуры, чья непротиворечивость сомнений не вызывает. В нашем случае мы должны реализовать эти аксиомы на базе пар натуральных чисел[39].

Описанная модель доказывает, что приведенная аксиоматика целых чисел непротиворечива. Потому что если бы в ней было противоречие, то это означало бы противоречие и в базовой для данной модели арифметике натуральных чисел, которую мы заранее предположили непротиворечивой[39].

Множество целых чисел бесконечно. Хотя натуральные числа составляют лишь часть множества целых чисел, целых чисел столько же, сколько натуральных, в том смысле, что мощность множества целых чисел такая же, как и множества натуральных — оба они счётные[41].