Функция (математика)

Фу́нкция (отображе́ние, опера́тор, преобразова́ние) в математике — соответствие между элементами двух множеств — правило, по которому каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Аналогично, заранее заданный алгоритм по значению входного данного выдаёт значение выходного данного.

Часто под термином «функция» понимается числовая функция, то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представлять в виде графиков.

Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован Лейбницем (1692 год). В свою очередь, Иоганн Бернулли в письме к Лейбницу придал этому термину смысл, более близкий к современному[1][2].

Первоначально понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751 год), затем — у Лакруа (1806 год), — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но только для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год)[3].

К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Сначала понятие функции было распространено на векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение[2].

Вообще говоря, понятия функции и её графика эквивалентны, а поскольку последнее определено математически более строго, формальным (с точки зрения теории множеств) определением функции является её график[4].

Вообще говоря, функция может быть задана на линейном пространстве, в таком случае имеют дело с функцией нескольких аргументов.

Функцию можно задать с помощью аналитического выражения (например, формулой). В этом случае её обозначают как соответствие в форме равенства.

Для функций трёх и более аргументов такое графическое представление не применимо. Однако и для таких функций можно придумать наглядное полугеометрическое представление (например, каждому значению четвёртой координаты точки сопоставить некоторый цвет на графике, как бывает на графиках комплексных функций).

Пусть заданы два отображения таких, что множество значений первого является подмножеством области задания второго. Тогда последовательное действие первого и второго отображений на всякий аргумент первого отображения однозначно сопоставляет элемент из области значений второго отображения:

Функция, одновременно сюръективная и инъективная, называется биективной или взаимно однозначной (коротко биекцией).

Образ всей области определения функции называется образом функции или, если функция является сюръекцией, вообще называется областью значений функции.

Последние два свойства допускают обобщение на любое количество множеств.

Если отображение обратимо (см. выше), то прообраз каждой точки области значений одноточечный, поэтому для обратимых отображений выполняется следующее усиленное свойство для пересечений:

Невозрастающие и неубывающие функции называются (нестрого) монотонными, а возрастающие и убывающие функции — строго монотонными. Для произвольной функции можно найти промежутки монотонности — подмножества области определения, на которых функция так или иначе (строгость выбирается в большинстве случаев договорно) монотонна.

В зависимости от того, какова природа области задания и области значений, различают следующие случаи областей:

В случае 1 рассматриваются отображения в самом общем виде и решаются наиболее общие вопросы — например, о сравнении множеств по мощности: если между двумя множествами существует взаимно однозначное отображение (биекция), то эти множества называют эквивалентными или равномощными. Это позволяет провести классификацию множеств по их мощностям, причём наименьшие из них в порядке увеличения таковы:

Таким образом получаются следующие виды отображений — по мощности области определения:

В случае 2 основным объектом рассмотрения является заданная на множестве структура (где элементы множества наделены каким-то дополнительными свойствами, которые связывают эти элементы, — например, в группах, кольцах, линейных пространствах) и то, что происходит с этой структурой при отображении: если при взаимно однозначном отображении сохраняются свойства заданной структуры, то говорят, что между двумя структурами установлен изоморфизм. Таким образом, изоморфные структуры, заданные в различных множествах, вообще говоря, невозможно различить, поэтому в математике принято говорить, что данная структура рассматривается «с точностью до изоморфизма».

Существует большое разнообразие структур, которые могут быть заданы на множествах. Сюда относится:

Функции с каким-либо конкретным свойством могут не существовать на тех множествах, которые не обладают соответствующей структурой. Например, чтобы сформулировать такое свойство, как непрерывность функции, заданной на множестве, на этом множестве нужно задать топологическую структуру.

Заданному значению аргумента должно соответствовать ровно одно значение функции, что связано с самим определением функции. Но, несмотря на это, нередко можно встретить так называемые многозначные функции. В действительности это не более чем удобное обозначение функции, область значений которой сама является семейством множеств.

Функция однозначна, если каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Функция многозначна, если хотя бы одному значению аргумента соответствует два или более значений функции[5].