Формула Планка

Фо́рмула Пла́нка (зако́н Пла́нка) — формула, описывающая спектральную плотность излучения, которое создаётся абсолютно чёрным телом определённой температуры. Формула была открыта Максом Планком в 1900 году и названа по его фамилии. Её открытие сопровождалось появлением гипотезы о том, что энергия может принимать только дискретные значения. Эта гипотеза некоторое время после открытия не считалась значимой, но, как принято считать, дала рождение квантовой физике.

Формула Планка — выражение для спектральной плотности излучения, создаваемого абсолютно чёрным телом определённой температуры. Встречаются различные формы записи этой формулы[1][2].

Формула, выражающая спектральную плотность энергетической яркости, выглядит следующим образом[3]:

Ещё одна форма записи описывает спектральную объёмную плотность энергии излучения абсолютно чёрного тела. По аналогии с предыдущими формулами, она равна плотности энергии в малом диапазоне частот или длин волн, делённой на ширину этого диапазона[1][2]:

Спектр Солнца (жёлтый цвет) и спектр абсолютно чёрного тела температурой 5777 K (серый цвет)

Формула Планка применима для излучения, которое находится в тепловом равновесии с веществом при определённой температуре[2]. Она применима для абсолютно чёрных тел любой формы вне зависимости от состава и структуры при условии, что размеры излучающего тела и деталей его поверхности гораздо больше длин волн, на которых тело в основном излучает[3][7].

В случае если тело не является абсолютно чёрным, то спектр его равновесного теплового излучения не описывается законом Планка, но связан с ним законом излучения Кирхгофа. Согласно этому закону, отношение излучательной и поглощательной способностей тела одинаково для всех длин волн и зависит только от температуры[8]. Так, например, при одной температуре распределение энергии в спектре абсолютно серого тела будет таким же, как и в спектре абсолютно чёрного, но суммарная энергетическая яркость излучения будет меньше[9].

Формула Планка также используется и для описания реальных тел, спектр излучения которых отличается от планковского. Для этого вводится понятие эффективной температуры тела: это та температура, при которой абсолютно чёрное тело излучает столько же энергии на единицу площади, что и данное тело. Аналогичным образом определяется яркостная температура, равная температуре абсолютно чёрного тела, излучающего столько же энергии на единицу площади на определённой длине волны, и цветовая температура, равная температуре абсолютно чёрного тела с таким же распределением энергии в определённом участке спектра[2][10][11]. Например, для Солнца эффективная температура составляет около 5780 K, а яркостная температура, в зависимости от длины волны, принимает различные значения: на длине волны 1500 Å она достигает минимального значения в 4200 K, а в видимом диапазоне на длине волны 5500 Å составляет около 6400 K, в то время как для абсолютно чёрного тела температуры, определяемые таким образом, совпадают[12].

Определение закона теплового излучения представляло интерес с 1859 года, когда Густав Кирхгоф открыл закон излучения Кирхгофа, согласно которому отношение излучательной и поглощательной способностей универсально для всех тел. Следовательно, функция излучения абсолютно чёрного тела, поглощательная способность которого равна единице для всех длин волн, должна совпадать с функцией этого отношения[13][14].

К концу XIX века спектр излучения абсолютно чёрного тела уже был известен экспериментально. В 1896 году Вильгельм Вин эмпирически описал его законом излучения Вина, однако получить ни его теоретическое обоснование, ни какой-либо вывод физикам на тот момент не удавалось. Хотя Вин в своей работе приводил обоснование закона, оно было недостаточно строгим, чтобы эта проблема считалась решённой[6][15][16].

Макс Планк был одним из тех, кто пытался теоретически обосновать закон излучения Вина. Он исходил из того, что излучатели являются линейными гармоническими осцилляторами, у которых установилось равновесие между испусканием и поглощением; определив связь между энтропией и энергией осцилляторов, он смог подтвердить закон излучения Вина[17].

Однако дальнейшие эксперименты показали, что закон излучения Вина неточно описывает спектр теплового излучения в длинноволновой области. В октябре 1900 года Планк представил формулу, которая с точностью до констант совпадала с современным законом Планка. В тот же день было выяснено, что формула хорошо описывает экспериментальные данные, но при этом она не имела под собой теоретической основы. Планк вывел её лишь на основании того, что в предельном случае для коротких волн она должна переходить в закон Вина, но, в отличие от него, согласовываться с экспериментальными данными для длинных волн[18].

Менее чем через два месяца после сообщения о получении формулы Планк представил её теоретический вывод на заседании Немецкого физического общества. В нём использовалось соотношение для энтропии, введённое Людвигом Больцманом, в котором рассматривается число возможных микроскопических состояний системы. Планк, чтобы иметь возможность использовать методы комбинаторики и оценить таким образом энтропию, сделал допущение, что полная энергия состоит из целого числа конечных элементов энергии — квантов[15][19].

Несмотря на то, что в этом выводе появились кванты и была введена и впервые использована постоянная Планка, ни сам Планк, ни его коллеги не поняли всей глубины открытия. Например, Планк считал, что дискретность энергии не имеет никакого физического смысла и является лишь математическим приёмом. Другие физики также не придали этому значения и не считали, что это предположение противоречит классической физике. Лишь после публикации Хендрика Лоренца в 1908 году научное сообщество пришло к мнению, что кванты действительно имеют физический смысл. Сам Планк впоследствии называл ввод квантов «актом отчаяния», вызванным тем, что «теоретическое объяснение должно быть найдено любой ценой, сколь высокой она ни была бы». Несмотря на всё это, день, когда формула Планка была обоснована, — 14 декабря 1900 года — считается днём рождения квантовой физики[15][20].

В 1918 году Макс Планк стал лауреатом Нобелевской премии по физике, и хотя официально он был награждён за открытие квантов, это открытие было тесно связано с выводом закона Планка[22].

Формула Планка также может быть выведена из рассмотрения механизмов спонтанного и вынужденного излучений атомов[25].

Синим и чёрным цветами обозначены спектры, соответствующие закону Планка и закону Рэлея — Джинса при одной температуре. Видно, что во втором случае наблюдается неограниченный рост мощности при уменьшении длины волны

В рамках классической физики в результате вывода закона излучения получается именно закон Рэлея — Джинса. Однако при малых длинах волн закон Рэлея — Джинса не только расходится с экспериментом, но и предсказывает неограниченный рост мощности излучения при приближении длины волны к нулю. Этот парадокс получил название ультрафиолетовой катастрофы (см. выше[⇨])[6][27].

Плотность потока энергии соответствует площади под графиком функции. По закону Стефана — Больцмана она пропорциональна четвёртой степени температуры

Закон Стефана — Больцмана — выражение, описывающее излучение абсолютно чёрного тела во всём электромагнитном диапазоне. Оно выводится из закона Планка интегрированием по частоте или, в зависимости от формы записи, по длине волны[28]:

По закону смещения Вина длина волны, на которой достигается максимальная излучательная способность, обратно пропорциональна температуре