Кривизна римановых многообразий

Слева направо: поверхности отрицательной, нулевой и положительной гауссовой кривизны.

Кривизна римановых многообразий численно характеризует отличие римановой метрики многообразия от евклидовой в данной точке.

В случае поверхности кривизна в точке полностью описывается гауссовой кривизной.

В размерностях 3 и выше кривизна не может быть полностью охарактеризована одним числом в заданной точке, вместо этого она определяется как тензор.

то есть тензор кривизны измеряет некоммутативность ковариантных производных по векторам.

NB. Есть несколько книг, где тензор кривизны определяется с противоположным знаком.

Последнее тождество было найдено Риччи, но часто его называют первым тождеством Бьянки, потому что оно похоже на тождество Бьянки, описанное ниже.

Тождество Бьянки (часто называемое вторым тождеством Бьянки) содержит ковариантные производные:

Секционная кривизна является ещё одним эквивалентным описанием кривизны римановых многообразий с более геометрическим описанием.

Следующая формула показывает, что секционная кривизна описывает тензор кривизны полностью:

Форма связности задаёт альтернативный способ описания кривизны. Главным образом такой способ представления используется для общих векторных расслоений и для главных расслоений, но он прекрасно работает для касательного расслоения со связностью Леви-Чивита.

Следующее равенство описывает связь между формой кривизны и тензором кривизны:

Этот подход автоматически включает все симметрии тензора кривизны, за исключением первого тождества Бьянки, которое принимает вид

Форма кривизны зануляется тогда и только тогда, когда связность локально плоска.

Это возможно из-за симметрий тензора кривизны (а именно, антисимметрии первой и последней пары индексов, и блок-симметрии этих пар).

В общем случае следующие тензоры и функции не описывают тензор кривизны полностью, однако они играют важную роль.

Начиная с размерности 3, скалярная кривизна не описывает тензор кривизны полностью.

Результат не зависит от выбора ортонормированного базиса. В размерности четыре или более кривизна Риччи не описывает тензор кривизны полностью.

Явные выражения для тензора Риччи через связности Леви-Чивита даны в статье о символах Кристоффеля.

В размерностях 2 и 3 тензор Вейля равен нулю, но если размерность > 3, тогда он может отличаться от нуля.

Вместе тензор Риччи и тензор Вейля определяют тензор кривизны полностью.