Фазовое пространство

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от , проверенной 11 февраля 2017; проверки требуют .

Фазовое пространство в математике и физике — пространство, каждая точка которого соответствует одному и только одному состоянию из множества всех возможных состояний системы. Точка пространства, соответствующая состоянию системы, называется «изображающей» или «представляющей» для него. Таким образом, изменению состояний системы, — т.е. её динамике — можно сопоставить движение изображающей точки; траекторию этой точки называют фазовой траекторией (следует отметить, что она не тождественна действительной траектории движения), а скорость такой изображающей точки называют фазовой скоростью.[A: 1][1]

Концепция фазового пространства была разработана в конце 19 века Людвигом Больцманом, Анри Пуанкаре и Уиллардом Гиббсом.[A: 2]

Как правило, выбирают пространства с евклидовой метрикой, используя либо декартову, либо полярную систему координат.

Для систем с одной степенью свободы фазовое пространство вырождается в фазовую плоскость.

При помощи уравнений траектории в фазовом пространстве (фазовой плоскости) для исследуемой системы строят интегральные кривые, — т.е. кривые в фазовом пространстве такие, что в каждой их точке касательная имеет наклон, задаваемый уравнением траектории. Геометрическое построение интегральных кривых называют «качественным интегрированием уравнений».[2]

Понятия «интегральная кривая» и «фазовая траектория» в общем случае следует различать, «».[3]

так как может случиться, что одна интегральная кривая состоит не из одной, а сразу из нескольких фазовых траекторий

Картину кривых в фазовом пространстве (на фазовой плоскости) можно описать:

Фазовый портрет исследуемой системы — это совокупность фазовых траекторий для всевозможных начальных условий.[3] Его можно рассматривать как интегральное многообразиеruen.[A: 3]

Поскольку при изучении поведения системы интересуются прежде всего стационарными движениями в системе,[2] то фазовый портрет можно также рассматривать как разбиение фазового пространства на области притяжения стационарных решений.[A: 1]

Классификацию характера особых точек системы уравнений можно провести на основании особенностей фазового портрета, поскольку как минимум для некоторых систем каждая особая точка системы дифференциальных уравнений является также и особой точкой в смысле, употребляемом в дифференциальной геометрии.[4]

Ф.п. обычно как-то деформируется при изменении параметров системы. Качественному изменению ф.п. соответствует исчезновение существующих и рождение новых стационарных решений, — и такое изменение ф.п. называют бифуркационной ситуацией.[A: 1]

Для удобства, изучение фазового портрета системы разделяют[4] на исследование характера движений системы:

При изучении фазового портрета интересует прежде всего общая топологическая картина движений на фазовой плоскости.[4]

Фазовая скорость — это скорость изменения состояния системы; она соответствует скорости движения изображающей точки в фазовом пространстве.[4]

Для вычисления величины фазовой скорости вводят понятие «фазовый радиус-вектор», как это делается в классической механике.[3]

и будет всюду определена однозначно, и обращается в ноль только в особой точке.[4] Модуль фазовой скорости в этом случае будет вычисляться как:

Вычисление фазовой скоростью даёт возможность более точно прослеживать изменения в системе. Так, к примеру, в случае бифуркации седло—узел можно обнаружить область состояний системы, в которой происходит значительное уменьшение модуля фазовой скорости.[A: 1]

В классической механике фазовыми пространствами служат гладкие многообразия. В случае механических систем это пространство четной размерности, координатами в котором являются обычные пространственные координаты (или обобщённые координаты) частиц системы и их импульсы (или обобщённые импульсы). Кроме того, в механике движение изображающей точки определяется сравнительно простыми уравнениями Гамильтона, анализ которых позволяет делать заключения о поведении сложных механических систем.[5]

Например, фазовое пространство для системы, состоящей из одной свободной материальной точки, имеет 6 измерений, три из которых — это три обычные координаты, а ещё три — это компоненты импульса. Соответственно, фазовое пространство для системы из двух свободных материальных точек будет содержать 12 измерений и т. д.

В термодинамике и статистической механике термин «фазовое пространство» имеет два значения: 1) он используется в том же смысле, что и в классической механике; 2) он может также относиться к пространству, которое параметризуется макроскопическими состояниями системы, такими как давление, температура и т.д.

В теории динамических систем и теории дифференциальных уравнений фазовое пространство является более общим понятием. Оно не обязательно чётномерно и динамика в нём не обязательно задаётся уравнениями Гамильтона.[источник не указан 1558 дней]

Если взять в рассмотрение несколько одинаковых систем, надо задать несколько точек в фазовом пространстве. Совокупность таких систем называют статистическим ансамблем. По теореме Лиувилля, замкнутая кривая (или поверхность), состоящая из точек фазового пространства гамильтоновой системы эволюционирует так, что площадь (или объем) заключенного в ней фазового пространства сохраняется во времени.[источник не указан 1558 дней]

Понятие фазового пространства широко используется в разных областях физики.[B: 1] [B: 2] Весьма полезным оно оказалось для изучения феноменов бифуркационной памяти.[A: 1]

Интерпретация состояния движущегося объекта как точки в фазовом пространстве разрешает парадокс Зенона.[источник не указан 4126 дней] (Парадокс состоит в том, что если мы описываем состояние объекта его положением в конфигурационном пространстве, то объект не может двигаться.)

Простейшая автономная колебательная система получила название «гармонический осциллятор»; её динамика описывается линейным дифференциальным уравнением вида:

Фазовое пространство состояний квантового осциллятора позволяет описать квантовый шум усилителя в терминах неопределенностей эрмитовой и анти-эрмитовой компонент поля; при этом не требуется предположение о линейности преобразования фазового пространства, осуществляемого усилителем.[A: 4] Производные передаточной функции усилителя определяют ограничение снизу на уровень квантового шума. Грубо говоря, чем более сложным является преобразование, тем больше квантовый шум.

Фазовое пространство позволяет построить единый формализм для классической и квантовой механики.[A: 5] Оператор эволюции формулируется в терминах скобки Пуассона; в квантовом случае эта скобка является обычным коммутатором. При этом классическая и квантовая механика строятся на одних и тех же аксиомах; они формулируются в терминах, которые имеют смысл как в классической, так и в квантовой механике.

Фазовое пространство широко используется в неизображающей оптикеruen,[B: 3] — ответвление оптики, посвященное освещению и солнечным батареям. Это также важное понятие в гамильтоновой оптикеruen.