Уравнения Максвелла

Приступая к изучению труда Фарадея, я установил, что его метод понимания явлений был так же математическим, хотя и не представленным в форме обычных математических символов. Я также нашёл, что этот метод можно выразить в обычной математической форме и таким образом сравнить с методами профессиональных математиков.

Если мы примем эту среду в качестве гипотезы, я считаю, что она должна занимать выдающееся место в наших исследованиях, и что нам следовало бы попытаться сконструировать рациональное представление о всех деталях её действия, что и было моей постоянной целью в этом трактате.

Переменный поток магнитного поля создаёт электрическое поле (закон Фарадея)

Классическая электродинамика, основанная на уравнениях Максвелла, лежит в основе многочисленных приложений электро- и радиотехники, СВЧ и оптики. До настоящего времени не было обнаружено ни одного эффекта, который потребовал бы видоизменения уравнений. Они оказываются применимы и в квантовой механике, когда рассматривается движение, например, заряженных частиц во внешних электромагнитных полях. Поэтому уравнения Максвелла являются основой микроскопического описания электромагнитных свойств вещества.

Также полевой подход, в целом восходящий к Фарадею и Максвеллу, стал центральным в теории гравитации (включая ОТО).

Рассмотренные модели показывают, что хотя внешнее электромагнитное поле действует на отдельные атомы и молекулы, его поведение во многих случаях можно рассматривать упрощённым образом в макроскопическом масштабе, игнорируя детали микроскопической картины.

В изотропных и однородных средах без дисперсии уравнения Максвелла принимают следующий вид:

При распространении электромагнитных полей в линейной среде в отсутствие зарядов и токов сумма любых частных решений уравнений будет также удовлетворять уравнениям Максвелла.

Во многих случаях неоднородную среду можно представить в виде совокупности кусочно-непрерывных однородных областей, разделённых бесконечно тонкими границами. При этом можно решать уравнения Максвелла в каждой области, «сшивая» на границах получающиеся решения. В частности, при рассмотрении решения в конечном объёме необходимо учитывать условия на границах объёма с окружающим бесконечным пространством. Граничные условия получаются из уравнений Максвелла предельным переходом. Для этого проще всего воспользоваться уравнениями Максвелла в интегральной форме.

Аналогичным образом, выбирая область интегрирования в первой паре интегральных уравнений в виде цилиндра бесконечно малой высоты, пересекающего границу раздела так, что его образующие перпендикулярны границе раздела, можно получить:

Эти граничные условия показывают непрерывность нормальной компоненты вектора магнитной индукции (нормальная компонента электрической индукции непрерывна только при отсутствии на границе поверхностных зарядов).

Из уравнения непрерывности можно получить граничное условие для токов:

Уравнения Максвелла содержат в себе законы сохранения заряда и энергии электромагнитного поля.

Дивергенция от ротора равна нулю, поэтому для четвёртого уравнения Максвелла (Закон Ампера—Максвелла) в системе СИ имеем:

где в последнем равенстве подставлено первое уравнение (Закон Гаусса).

Это уравнение при помощи интегральной теоремы Остроградского—Гаусса можно записать в следующем виде:

Уравнение непрерывности, эквивалентное закону сохранения заряда, далеко выходит за пределы классической электродинамики, оставаясь справедливым и в квантовой теории. Поэтому это уравнение само по себе может быть положено в основу электромагнитной теории. Тогда, например, ток смещения (производная по времени электрического поля) должен обязательно присутствовать в законе Ампера.

Из уравнений Максвелла для роторов и уравнения непрерывности с точностью до произвольных функций, не зависящих от времени, следуют законы Гаусса для электрического и магнитного полей.

При помощи третьего и четвёртого уравнения Максвелла в дифференциальной форме в системе СИ можно получить:

Разница левых частей уравнений сворачивается по следующей формуле векторного анализа (производная произведения):

Это уравнение показывает, что при отсутствии внутренних потерь изменение энергии электромагнитного поля в объёме происходит только за счёт мощности электромагнитного излучения, переносимого через границу этого объёма.

В этом случае оставшиеся уравнения Максвелла в однородных и изотропных средах могут быть записаны в следующем виде:

Возможно введение других калибровок. Так, для решения ряда задач удобной оказывается кулоновская калибровка:

Векторный потенциал играет большую роль в электродинамике и в квантовой теории поля, однако для исследования процессов распространения электромагнитных волн в отсутствие токов и зарядов его введение часто не приводит к упрощению системы, а сводится к простой замене векторов электрического и магнитного поля на другой аналогичный вектор, описываемый теми же уравнениями. Так, для гармонических полей векторный потенциал будет просто пропорционален электрическому полю (скалярный потенциал при этом можно положить равным нулю).

(при этом уравнение непрерывности для заряда автоматически выполняется).

Таким образом, электрический вектор Герца определяется волновыми уравнениями, в правой части которых стоит поляризуемость, обусловленная свободными либо свободными и связанными зарядами, то есть электрическими дипольными моментами.

Аналогичным образом можно получить уравнения для магнитного потенциала Герца, подставляя выраженные через него поля в третье и четвёртое уравнения Максвелла без тока:

Таким образом, выделяется два типа электромагнитных полей, выражающихся через электрический и магнитный потенциалы Герца, а произвольное поле можно представить в виде суммы таких полей. Поля, выражающиеся через электрический вектор Герца, носят название полей электрического типа, или поперечно-магнитных (TM) полей, поскольку магнитное поле для них ортогонально направлению вектора Герца. Соответственно, поля, выражающиеся через магнитный вектор Герца, называют полями магнитного типа, или поперечно-электрическими полями (TE), электрическое поле в которых ортогонально порождающему вектору Герца. Поля TM можно представить как поля, порождаемые распределёнными в пространстве электрическими диполями, а поля TE, соответственно, магнитными. Векторные потенциалы Герца, в свою очередь, могут быть во многих случаях выражены через скалярные потенциалы.

При отсутствии сторонних зарядов и токов остаётся только второе уравнение (первое из-за равенства дивергенции ротора нулю в этом случае удовлетворяется автоматически с точностью до не зависящей от времени компоненты):

В отличие от волнового уравнения, которое получаются в этом случае для векторов поля или потенциала, последнее векторное дифференциальное уравнение имеет первый, а не второй порядок и поэтому в ряде случаев может быть проще для решения.

С современной точки зрения четырёхмерная ковариантная формулировка электродинамики (и в частности запись уравнений Максвелла в таком виде) является физически наиболее фундаментальной.

Практически она приводит, кроме явной ковариантности, к значительно большей компактности уравнений, а значит — к определённой красоте и в ряде случаев к удобству, и более органично и прямо включает в себя единство электромагнитного поля.

По повторяющемуся индексу предполагается суммирование от 0 до 3 (правило Эйнштейна).

Приведенное выше уравнение является компактной записью уравнения непрерывности:

При помощи такого определения 4-вектора потенциала калибровочное условие Лоренца в ковариантной форме можно записать следующим образом:

Если это условие выполняется, то уравнения Максвелла для потенциалов в вакууме при наличии зарядов и токов принимают вид:

Используя определение тензора электромагнитного поля, несложно проверить выполнение следующего тождества:

Его можно переписать в более компактном виде, введя дуальный тензор электромагнитного поля:

Уравнения движения заряда под воздействием силы Лоренца в ковариантной записи имеют вид:

Чтобы показать эквивалентность этих уравнений уравнениям Максвелла, необходимо записать их в трёхмерной векторной форме. В этом случае в системе СГС ток и 2-форма Максвелла имеют вид:

На произвольном 4-мерном многообразии, то есть в общем случае, включающем и пространство-время ненулевой кривизны (а также произвольных четырёхмерных координат, включая случаи неинерциальных систем отсчёта) электродинамика может быть сформулирована и в обычных индексных обозначениях.

Здесь знак «:» означает ковариантную производную, подобно тому, как знак «,» означает обычную производную:

Отсюда получаем закон сохранения электрического заряда в общековариантном виде:

В электродинамике большое значение имеют гармонические колебания. Такие поля можно представить в виде

Усреднённые за период плотности энергии электрического и магнитного поля равны соответственно

Используя преобразование Фурье, по гармоническим колебаниям можно разложить поля с произвольной временной зависимостью.

Переход к спектральным компонентам позволяет сосредоточиться на координатной зависимости полей. Уравнения Максвелла для спектральных компонент в однородных средах при этом принимают вид

Диэлектрическая и магнитная проницаемости среды в спектральном представлении связаны с восприимчивостями материальных уравнений в интегральном представлении Фурье-преобразованием:

Беря ротор от закона Фарадея и используя закон Ампера—Максвелла, получаем (в системе СИ):

так как дивергенция электрического поля в вакууме равна нулю. Приравнивая эти два выражения, получаем волновое уравнение для электрического поля. Аналогично получается волновое уравнение для магнитного поля.

В лоренцевской калибровке в отсутствие зарядов и токов волновому уравнению удовлетворяют также скалярный и векторный потенциалы:

и аналогично для магнитной индукции. Поэтому уравнения Максвелла в отсутствие зарядов и токов принимают вид (система СИ):

Вектор Пойнтинга (плотность потока энергии) независимо от системы единиц связан с полной плотностью энергии следующим образом:

Плоская электромагнитная волна с круговой (сверху) и линейной (снизу) поляризацией

В обоих аксиоматических подходах получаются уравнения Максвелла в вакууме при наличии свободных зарядов. Расширение этих уравнений на электродинамику сплошных сред требует дальнейшего привлечения различных модельных представлений о структуре вещества.

Пусть электрическая и магнитная индукции связаны с напряжённостями полей при помощи следующих материальных уравнений:

где индекс указывает номер решения. Так как начальные и граничные условия заданы (одинаковые для обоих возможных решений), то:

Для единственности решения уравнений Максвелла вместо задания тангенциальных компонент поля можно потребовать выполнение на границе условия импедансного типа

Основными методами являются проекционные, в которых решение проецируется на какой-либо удобный функциональный базис, и дискретизационные — область пространства разбивается на множество малых конечных областей.

Для компьютерных расчётов чаще применяются более универсальные дискретизационные методы: