Уравнения Максвелла

Уравне́ния Ма́ксвелла — система уравнений в дифференциальной или интегральной форме, описывающих электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах. Вместе с выражением для силы Лоренца, задающим меру воздействия электромагнитного поля на заряженные частицы, эти уравнения образуют полную систему уравнений классической электродинамики, называемую иногда уравнениями Максвелла — Лоренца. Уравнения, сформулированные Джеймсом Клерком Максвеллом на основе накопленных к середине XIX века экспериментальных результатов, сыграли ключевую роль в развитии представлений теоретической физики и оказали сильное, зачастую решающее влияние не только на все области физики, непосредственно связанные с электромагнетизмом, но и на многие возникшие впоследствии фундаментальные теории, предмет которых не сводился к электромагнетизму (одним из ярчайших примеров здесь может служить специальная теория относительности).

Уравнения, сформулированные Джеймсом Клерком Максвеллом, возникли на основе ряда важных экспериментальных открытий, которые были сделаны в начале XIX века. В 1820 году Ганс Христиан Эрстед обнаружил[1], что пропускаемый через провод гальванический ток заставляет отклоняться магнитную стрелку компаса. Это открытие привлекло широкое внимание учёных того времени. В том же 1820 году Био и Савар экспериментально нашли выражение[2] для порождаемой током магнитной индукции (закон Био — Савара), а Андре Мари Ампер обнаружил также, что взаимодействие на расстоянии возникает между двумя проводниками, по которым пропускается ток. Ампер ввёл термин «электродинамический» и выдвинул гипотезу, что природный магнетизм связан с существованием в магните круговых токов[3].

Влияние тока на магнит, обнаруженное Эрстедом, привело Майкла Фарадея к идее о том, что должно существовать обратное влияние магнита на токи. После длительных экспериментов, в 1831 году, Фарадей открыл, что перемещающийся возле проводника магнит порождает в проводнике электрический ток. Это явление было названо электромагнитной индукцией. Фарадей ввёл понятие «поля сил» — некоторой среды, находящейся между зарядами и токами. Его рассуждения носили качественный характер, однако они оказали огромное влияние на исследования Максвелла.

После открытий Фарадея стало ясно, что старые модели электромагнетизма (Ампер, Пуассон и др.) неполны. Вскоре появилась теория Вебера, основанная на дальнодействии. Однако к этому моменту вся физика, кроме теории тяготения, имела дело только с близкодействием (оптика, термодинамика, механика сплошных сред и др.). Гаусс, Риман и ряд других учёных высказывали догадки, что свет имеет электромагнитную природу, так что теория электромагнитных явлений тоже должна быть близкодейственной. Этот принцип стал существенной особенностью теории Максвелла.

В своём знаменитом «Трактате об электричестве и магнетизме» (1873) Максвелл писал[4]:

Приступая к изучению труда Фарадея, я установил, что его метод понимания явлений был так же математическим, хотя и не представленным в форме обычных математических символов. Я также нашёл, что этот метод можно выразить в обычной математической форме и таким образом сравнить с методами профессиональных математиков.

Заменяя фарадеевский термин «поле сил» на понятие «напряжённость поля», Максвелл сделал его ключевым объектом своей теории[5]:

Если мы примем эту среду в качестве гипотезы, я считаю, что она должна занимать выдающееся место в наших исследованиях, и что нам следовало бы попытаться сконструировать рациональное представление о всех деталях её действия, что и было моей постоянной целью в этом трактате.

Подобная электродинамическая среда явилась абсолютно новым понятием для ньютоновской физики. Последняя изучала взаимодействие между собой материальных тел. Максвелл же записал уравнения, которым должна подчиняться среда, определяющая взаимодействие зарядов и токов и существующая даже в их отсутствие.

Анализируя известные эксперименты, Максвелл получил систему уравнений для электрического и магнитного полей. В 1855 году в своей самой первой статье «О фарадеевых силовых линиях»[6] («On Faraday’s Lines of Force»[7]) он впервые записал в дифференциальной форме систему уравнений электродинамики, но не вводя ещё ток смещения. Такая система уравнений описывала все известные к тому времени экспериментальные данные, но не позволяла связать между собой заряды и токи и предсказать электромагнитные волны[8]. Впервые ток смещения был введён Максвеллом в работе «О физических силовых линиях»[9] («On Physical Lines of Force»[10]), состоящей из четырёх частей и опубликованной в 1861—1862 годах. Обобщая закон Ампера, Максвелл вводит ток смещения, вероятно, чтобы связать токи и заряды уравнением непрерывности, которое уже было известно для других физических величин[8]. Следовательно, в этой статье фактически была завершена формулировка полной системы уравнений электродинамики. В статье 1864 года «Динамическая теория электромагнитного поля»[11] («A dynamical theory of the electromagnetic field»[12]) рассмотрена сформулированная ранее система уравнений из 20 скалярных уравнений для 20 скалярных неизвестных. В этой статье Максвелл впервые сформулировал понятие электромагнитного поля как физической реальности, имеющей собственную энергию и конечное время распространения, определяющее запаздывающий характер электромагнитного взаимодействия[8].

Переменный поток магнитного поля создаёт электрическое поле (закон Фарадея)

Оказалось, что не только ток, но и изменяющееся со временем электрическое поле (ток смещения) порождает магнитное поле. В свою очередь, в силу закона Фарадея, изменяющееся магнитное поле снова порождает электрическое. В результате, в пустом пространстве может распространяться электромагнитная волна. Из уравнений Максвелла следовало, что её скорость равна скорости света, поэтому Максвелл сделал вывод об электромагнитной природе света.

Часть физиков выступила против теории Максвелла (особенно много возражений вызвала концепция тока смещения). Гельмгольц предложил свою теорию, компромиссную по отношению к моделям Вебера и Максвелла, и поручил своему ученику Генриху Герцу провести её экспериментальную проверку. Однако опыты Герца однозначно подтвердили правоту Максвелла.

Максвелл не использовал векторных обозначений и записывал свои уравнения в достаточно громоздком компонентном виде. В своём трактате[13] он, кроме того, частично использовал кватернионную формулировку. Современная форма уравнений Максвелла появилась около 1884 года после работ Хевисайда, Герца и Гиббса. Они не только переписали систему Максвелла в векторном виде, но и симметризовали её, переформулировав в терминах поля, избавившись от электрического и магнитного потенциалов, игравших в теории Максвелла существенную роль, поскольку полагали, что эти функции являются лишь ненужными вспомогательными математическими абстракциями[14]. Интересно, что современная физика поддерживает Максвелла, но не разделяет негативное отношение его ранних последователей к потенциалам. Электромагнитный потенциал играет важную роль в квантовой физике и проявляется как физически измеряемая величина в некоторых экспериментах, например, в эффекте Ааронова — Бома[15].

Система уравнений в формулировке Герца и Хевисайда некоторое время называлась уравнениями Герца — Хевисайда[16]. Эйнштейн в классической статье «К электродинамике движущихся тел»[17] назвал их уравнениями Максвелла — Герца. Иногда в литературе встречается также название уравнения Максвелла — Хевисайда[18].

Уравнения Максвелла сыграли важную роль при возникновении специальной теории относительности (СТО). Джозеф Лармор (1900 год)[19] и независимо от него Хенрик Лоренц (1904 год)[20] нашли преобразования координат, времени и электромагнитных полей, которые оставляют уравнения Максвелла инвариантными при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Эти преобразования отличались от преобразований Галилея классической механики и, с подачи Анри Пуанкаре[21], стали называться преобразованиями Лоренца. Они стали математическим фундаментом специальной теории относительности.

Распространение электромагнитных волн со скоростью света первоначально интерпретировалось как возмущения некоторой среды, так называемого эфира[22]. Были предприняты многочисленные попытки (см.исторический обзор) обнаружить движение Земли относительно эфира, однако они неизменно давали отрицательный результат.[23] Поэтому Анри Пуанкаре высказал гипотезу о принципиальной невозможности обнаружить подобное движение (принцип относительности). Ему же принадлежит постулат о независимости скорости света от скорости его источника и вывод (вместе с Лоренцем), исходя из сформулированного так принципа относительности, точного вида преобразований Лоренца (при этом были показаны и групповые свойства этих преобразований). Эти две гипотезы (постулата) легли и в основу статьи Альберта Эйнштейна (1905 год)[17]. С их помощью он также вывел преобразования Лоренца и утвердил их общефизический смысл, особо подчеркнув возможность их применения для перехода из любой инерциальной системы отсчёта в любую другую инерциальную. Эта работа фактически ознаменовала собой построение специальной теории относительности. В СТО преобразования Лоренца отражают общие свойства пространства и времени, а модель эфира оказывается ненужной. Электромагнитные поля являются самостоятельными объектами, существующими наравне с материальными частицами.

Классическая электродинамика, основанная на уравнениях Максвелла, лежит в основе многочисленных приложений электро- и радиотехники, СВЧ и оптики. До настоящего времени не было обнаружено ни одного эффекта, который потребовал бы видоизменения уравнений. Они оказываются применимы и в квантовой механике, когда рассматривается движение, например, заряженных частиц во внешних электромагнитных полях. Поэтому уравнения Максвелла являются основой микроскопического описания электромагнитных свойств вещества.

Уравнения Максвелла востребованы также в астрофизике и космологии, поскольку многие планеты и звезды обладают магнитным полем. Магнитное поле определяет, в частности, свойства таких объектов, как пульсары и квазары.

На современном уровне понимания все фундаментальные частицы являются квантовыми возбуждениями («квантами») различных полей. Например, фотон — это квант электромагнитного поля, а электрон — квант спинорного поля[24]. Поэтому полевой подход, предложенный Фарадеем и существенно развитый Максвеллом, является основой современной физики фундаментальных частиц, в том числе её стандартной модели.

Исторически несколько раньше он сыграл важную роль в появлении квантовой механики в формулировке Шрёдингера и вообще открытии квантовых уравнений, описывающих движение частиц, в том числе и релятивистских (уравнение Клейна — Гордона, уравнение Дирака), хотя первоначально аналогия с уравнениями Максвелла здесь виделась скорее лишь в общей идее, тогда как впоследствии оказалось, что она может быть понята как более конкретная и детальная (как это описано выше).

Также полевой подход, в целом восходящий к Фарадею и Максвеллу, стал центральным в теории гравитации (включая ОТО).

Запись большинства уравнений в физике не зависит от выбора системы единиц. Однако в электродинамике это не так. В зависимости от выбора системы единиц в уравнениях Максвелла возникают различные коэффициенты (константы). Международная система единиц (СИ) является стандартом в технике и преподавании, однако споры среди физиков о её достоинствах и недостатках по сравнению с конкурирующей системой единиц СГС не утихают[25]; здесь и всюду далее под СГС подразумевается исключительно симметричная гауссова система СГС. Преимущество системы СГС в электродинамике состоит в том, что все поля в ней имеют одну размерность, а уравнения, по мнению многих учёных, записываются проще и естественней[26]. Поэтому СГС продолжает применяться в научных публикациях по электродинамике и в преподавании теоретической физики, например, в курсе теоретической физики Ландау и Лифшица. Однако для практических применений вводимые в СГС единицы измерений, многие из которых неименованы и неоднозначны, часто неудобны. Система СИ стандартизована и лучше самосогласованна, на этой системе построена вся современная метрология[27]. Кроме того, система СИ обычно используется в курсах общей физики. В связи с этим все соотношения, если они по-разному записываются в системах СИ и СГС, далее приводятся в двух вариантах.

Жирным шрифтом в дальнейшем обозначаются векторные величины, курсивом — скалярные.

При помощи формулы Остроградского — Гаусса и теоремы Стокса дифференциальным уравнениям Максвелла можно придать форму интегральных уравнений:

В более сложных ситуациях в классической и квантовой физике в случае, когда под действием электромагнитных полей свободные заряды перемещаются и изменяют значения полей, необходимо решение самосогласованной системы из уравнений Максвелла и уравнений движения, включающих силы Лоренца. Получение точного аналитического решения такой полной системы сопряжено обычно с большими сложностями.

Скорость электромагнитного излучения в вакууме (скорость света) в СИ появляется при выводе волнового уравнения:

Значения[37] скорости света, электрической и магнитной постоянных приведены в таблице:

Иногда вводится величина, называемая «волновым сопротивлением вакуума», или «импедансом» вакуума:

При приложении электрического поля к диэлектрическому материалу каждая из его молекул превращается в микроскопический диполь. При этом положительные ядра атомов немного смещаются в направлении поля, а электронные оболочки в противоположном направлении. Кроме этого, молекулы некоторых веществ изначально имеют дипольный момент. Дипольные молекулы стремятся ориентироваться в направлении поля. Этот эффект называется поляризацией диэлектриков. Такое смещение связанных зарядов молекул в объёме эквивалентно появлению некоторого распределения зарядов на поверхности, хотя все молекулы, вовлечённые в процесс поляризации остаются нейтральными (см. рисунок).

Аналогичным образом происходит магнитная поляризация (намагничивание) в материалах, в которых составляющие их атомы и молекулы имеют магнитные моменты, связанные со спином и орбитальным моментом ядер и электронов. Угловые моменты атомов можно представить в виде циркулярных токов. На границе материала совокупность таких микроскопических токов эквивалентна макроскопическим токам, циркулирующим вдоль поверхности, несмотря на то, что движение зарядов в отдельных магнитных диполях происходит лишь в микромасштабе (связанные токи).

Рассмотренные модели показывают, что хотя внешнее электромагнитное поле действует на отдельные атомы и молекулы, его поведение во многих случаях можно рассматривать упрощённым образом в макроскопическом масштабе, игнорируя детали микроскопической картины.

В изотропных и однородных средах без дисперсии уравнения Максвелла принимают следующий вид:

При распространении электромагнитных полей в линейной среде в отсутствие зарядов и токов сумма любых частных решений уравнений будет также удовлетворять уравнениям Максвелла.

Во многих случаях неоднородную среду можно представить в виде совокупности кусочно-непрерывных однородных областей, разделённых бесконечно тонкими границами. При этом можно решать уравнения Максвелла в каждой области, «сшивая» на границах получающиеся решения. В частности, при рассмотрении решения в конечном объёме необходимо учитывать условия на границах объёма с окружающим бесконечным пространством. Граничные условия получаются из уравнений Максвелла предельным переходом. Для этого проще всего воспользоваться уравнениями Максвелла в интегральной форме.

Выбирая во второй паре уравнений контур интегрирования в виде прямоугольной рамки бесконечно малой высоты, пересекающей границу раздела двух сред, можно получить следующую связь между компонентами поля в двух областях, примыкающих к границе[41]:

Аналогичным образом, выбирая область интегрирования в первой паре интегральных уравнений в виде цилиндра бесконечно малой высоты, пересекающего границу раздела так, что его образующие перпендикулярны границе раздела, можно получить:

Эти граничные условия показывают непрерывность нормальной компоненты вектора магнитной индукции (нормальная компонента электрической индукции непрерывна только при отсутствии на границе поверхностных зарядов).

Из уравнения непрерывности можно получить граничное условие для токов:

Важным частным случаем является граница раздела диэлектрика и идеального проводника. Поскольку идеальный проводник имеет бесконечную проводимость, электрическое поле внутри него равно нулю (иначе оно порождало бы бесконечную плотность тока). Тогда в общем случае переменных полей из уравнений Максвелла следует, что и магнитное поле в проводнике равно нулю. В результате тангенциальная компонента электрического и нормальная магнитного поля на границе с идеальным проводником равны нулю:

Уравнения Максвелла содержат в себе законы сохранения заряда и энергии электромагнитного поля.

Дивергенция от ротора равна нулю, поэтому для четвёртого уравнения Максвелла (Закон Ампера—Максвелла) в системе СИ имеем:

где в последнем равенстве подставлено первое уравнение (Закон Гаусса).

Это уравнение при помощи интегральной теоремы Остроградского—Гаусса можно записать в следующем виде:

Уравнение непрерывности, эквивалентное закону сохранения заряда, далеко выходит за пределы классической электродинамики, оставаясь справедливым и в квантовой теории. Поэтому это уравнение само по себе может быть положено в основу электромагнитной теории. Тогда, например, ток смещения (производная по времени электрического поля) должен обязательно присутствовать в законе Ампера.

Из уравнений Максвелла для роторов и уравнения непрерывности с точностью до произвольных функций, не зависящих от времени, следуют законы Гаусса для электрического и магнитного полей.

При помощи третьего и четвёртого уравнения Максвелла в дифференциальной форме, в системе СИ можно получить:

Разница левых частей уравнений сворачивается по следующей формуле векторного анализа (производная произведения):

Это уравнение показывает, что при отсутствии внутренних потерь изменение энергии электромагнитного поля в объёме происходит только за счёт мощности электромагнитного излучения, переносимого через границу этого объёма.

где интегрирование производится по всему пространству. Электромагнитная волна, поглощаясь или отражаясь от некоторой поверхности, передаёт ей часть своего импульса, что проявляется в форме светового давления. Экспериментально этот эффект впервые наблюдался П. Н. Лебедевым в 1899 году.

Подобные преобразования играют важную роль в квантовой электродинамике и лежат в основе локальной калибровочной симметрии электромагнитного взаимодействия. Локальная калибровочная симметрия вводит зависимость от координат и времени в фазу глобальной калибровочной симметрии, которая, в силу теоремы Нётер, приводит к закону сохранения заряда.

В этом случае оставшиеся уравнения Максвелла в однородных и изотропных средах могут быть записаны в следующем виде:

Возможно введение других калибровок. Так, для решения ряда задач удобной оказывается кулоновская калибровка:

Первое уравнение описывает мгновенное (без запаздывания) действие кулоновской силы, поскольку кулоновская калибровка неинвариантна относительно преобразований Лоренца. При этом энергию кулоновского взаимодействия можно отделить от остальных взаимодействий, что облегчает квантование поля в гамильтоновом формализме[46].

Векторный потенциал играет большую роль в электродинамике и в квантовой теории поля, однако для исследования процессов распространения электромагнитных волн в отсутствие токов и зарядов его введение часто не приводит к упрощению системы, а сводится к простой замене векторов электрического и магнитного поля на другой аналогичный вектор, описываемый теми же уравнениями. Так, для гармонических полей векторный потенциал будет просто пропорционален электрическому полю (скалярный потенциал при этом можно положить равным нулю).

Подставляя выражения для полей через электрический вектор в два последних уравнения Максвелла, можно получить[47][48]:

(при этом уравнение непрерывности для заряда автоматически выполняется).

Таким образом, электрический вектор Герца определяется волновыми уравнениями, в правой части которых стоит поляризуемость, обусловленная свободными, либо свободными и связанными зарядами, то есть электрическими дипольными моментами.

Аналогичным образом можно получить уравнения для магнитного потенциала Герца, подставляя выраженные через него поля в третье и четвёртое уравнения Максвелла без тока:

Таким образом, выделяется два типа электромагнитных полей, выражающихся через электрический и магнитный потенциалы Герца, а произвольное поле можно представить в виде суммы таких полей. Поля, выражающиеся через электрический вектор Герца носят название полей электрического типа или поперечно-магнитных (TM) полей, поскольку магнитное поле для них ортогонально направлению вектора Герца. Соответственно, поля, выражающиеся через магнитный вектор Герца, называют полями магнитного типа или поперечно-электрическими полями (TE), электрическое поле в которых ортогонально порождающему вектору Герца. Поля TM можно представить как поля, порождаемые распределёнными в пространстве электрическими диполями, а поля TE, соответственно, магнитными. Векторные потенциалы Герца, в свою очередь, могут быть во многих случаях выражены через скалярные потенциалы.

В электродинамике широко используются скалярные потенциалы, предложенные Дебаем[50].

При отсутствии сторонних зарядов и токов остаётся только второе уравнение (первое из-за равенства дивергенции ротора нулю в этом случае удовлетворяется автоматически с точностью до не зависящей от времени компоненты):

В отличие от волнового уравнения, которое получаются в этом случае для векторов поля или потенциала, последнее векторное дифференциальное уравнение имеет первый, а не второй порядок и поэтому в ряде случаев может быть проще для решения.

С современной точки зрения, четырёхмерная ковариантная формулировка электродинамики, и в частности — запись уравнений Максвелла в таком виде, является физически наиболее фундаментальной.

Практически она приводит, кроме явной ковариантности, к значительно большей компактности уравнений, а значит определённой красоте и в ряде случаев удобству, и более органично и прямо включает в себя единство электромагнитного поля.

Под ковариантной формулировкой понимают два различающихся, но прямо и непосредственно связанных варианта: лоренц-ковариантная формулировка в плоском пространстве-времени Минковского и общековариантная формулировка для общего случая искривлённого пространства-времени (стандартно рассматриваемая в контексте общей теории относительности). Второй вариант отличается от первого тем, что метрика пространства-времени в нём не постоянна (что может означать как присутствие гравитации, так и просто использование более широкого класса координат, например, соответствующих неинерциальным системам отсчёта), и во многом сводится к замене обычных производных по (четырёхмерным) координатам на ковариантные производные (в значительной части случаев это сводится к механической замене первых на вторые). Кроме прочего, второй вариант позволяет исследовать взаимодействие электромагнитного поля с гравитацией.

При ковариантной записи уравнений электродинамики производится переход от трёхмерных векторов и скаляров к четырёхмерным векторам (4-векторы). Независимо от системы единиц, четырёхмерные координаты (4-вектор координат, в компоненты которого входят время и трёхмерные пространственные координаты), производная по этим координатам (4-производная) и плотность тока определяются следующим образом[56]:

По повторяющемуся индексу предполагается суммирование от 0 до 3 (правило Эйнштейна).

Приведенное выше уравнение является компактной записью уравнения непрерывности:

Введём 4-вектор потенциала, имеющий в системах СГС и СИ следующие компоненты:

При помощи такого определения 4-вектора потенциала, калибровочное условие Лоренца в ковариантной форме можно записать следующим образом:

Если это условие выполняется, то уравнения Максвелла для потенциалов в вакууме при наличии зарядов и токов принимают вид:

Определим ковариантный тензор электромагнитного поля при помощи производной от 4-вектора потенциала[57][58]:

Используя определение тензора электромагнитного поля, несложно проверить выполнение следующего тождества:

Его можно переписать в более компактном виде, введя дуальный тензор электромагнитного поля:

При помощи тензора электромагнитного поля можно получить законы преобразований компонент электрического и магнитного полей, измеряемых относительно различных инерциальных систем отсчёта[60][61]:

Уравнения Максвелла в вакууме инвариантны относительно преобразований Лоренца. Это послужило одним из толчков к созданию специальной теории относительности.

Электрическое и магнитное поля различным образом изменяются при инверсии осей пространственной системы координат. Электрическое поле является полярным вектором, а магнитное — аксиальным вектором. Можно построить две инвариантные относительно преобразований Лоренца величины:

Первый инвариант является скаляром, а второй — псевдоскаляром, то есть изменяет свой знак при инверсии координатных осей.

Уравнения движения заряда под воздействием силы Лоренца в ковариантной записи имеют вид:

В этих обозначениях уравнения Максвелла в системах СГС и СИ принимают следующий вид[68]:

Чтобы показать эквивалентность этих уравнений уравнениям Максвелла, необходимо записать их в трёхмерной векторной форме. В этом случае, в системе СГС, ток и 2-форма Максвелла имеют вид:

На произвольном 4-мерном многообразии, то есть в общем случае, включающем и пространство-время ненулевой кривизны (а также произвольных четырёхмерных координат, включая случаи неинерциальных систем отсчёта) электродинамика может быть сформулирована и в обычных индексных обозначениях.

Здесь знак ":" означает ковариантную производную, подобно тому, как знак "," означает обычную производную:

Отсюда получаем закон сохранения электрического заряда в общековариантном виде:

В электродинамике большое значение имеют гармонические колебания. Такие поля можно представить в виде:

Усреднённые за период плотности энергии электрического и магнитного поля равны, соответственно:

Используя преобразование Фурье, по гармоническим колебаниям можно разложить поля с произвольной временной зависимостью.

Переход к спектральным компонентам позволяет сосредоточиться на координатной зависимости полей. Уравнения Максвелла для спектральных компонент в однородных средах при этом принимают вид:

Диэлектрическая и магнитная проницаемости среды в спектральном представлении связаны с восприимчивостями материальных уравнений в интегральном представлении Фурье-преобразованием:

Берем ротор от закона Фарадея, и используя закон Ампера-Максвелла, получаем (в системе СИ):

так как дивергенция электрического поля в вакууме равна нулю. Приравнивая эти два выражения, получаем волновое уравнение для электрического поля. Аналогично получается волновое уравнение для магнитного поля.

В лоренцевской калибровке в отсутствие зарядов и токов волновому уравнению удовлетворяют также скалярный и векторный потенциалы:

Если точечный заряд двигается с ускорением, то создаваемое им поле зависит не только от скорости, но и от ускорения. Составляющая поля, зависящая от ускорения, соответствует излучению электромагнитной волны[45].

и аналогично для магнитной индукции. Поэтому уравнения Максвелла в отсутствие зарядов и токов принимают вид (система СИ):

Вектор Пойнтинга (плотность потока энергии), независимо от системы единиц, связан с полной плотностью энергии следующим образом:

Плоские и поперечные волны являются математическими абстракциями. Реальные волны конечной апертуры из-за эффекта дифракции можно считать плоскими и поперечными лишь в некотором приближении.

Уравнения Максвелла полностью совместимы с принципами специальной теории относительности. Они также применимы при микроскопическом описании вещества, когда заряженные частицы подчиняются принципам квантовой механики, а электромагнитное поле остаётся классическим (не квантовым). В этом случае квантовые объекты (например, электроны) описываются уравнением Шрёдингера или уравнением Дирака, однако потенциалы электромагнитного взаимодействия в этих уравнениях определяются классическими уравнениями Максвелла.

Тем не менее, существуют явления, для описания которых требуется более последовательное объединение полевого подхода Фарадея — Максвелла с принципами квантовой механики. Оно осуществляется при помощи методов квантовой теории поля в квантовой электродинамике. В этом случае форма уравнений Максвелла (лагранжиан) остаётся неизменной, однако поля становятся операторами, а уравнения Максвелла — операторными уравнениями Гейзенберга. Решение подобных уравнений приводит к появлению новых эффектов, отсутствующих в классической теории поля. Эти эффекты существенны, в частности, в следующих физических ситуациях:

Исторически уравнения Максвелла возникли в результате обобщения различных экспериментальных открытий. Однако с аксиоматической точки зрения их можно получить при помощи следующей последовательности шагов[77]:

Как в первом, так и во втором подходе предполагаются установленными принципы теории относительности. Хотя исторически она возникла на основе уравнений Максвелла и второго постулата Эйнштейна, известен восходящий к работам Игнатовского [79], Франка и Роте [80] аксиоматический способ построения СТО, не использующий постулата об инвариантности скорости света и уравнений Максвелла.

В обоих аксиоматических подходах получаются уравнения Максвелла в вакууме при наличии свободных зарядов. Расширение этих уравнений на электродинамику сплошных сред требует дальнейшего привлечения различных модельных представлений о структуре вещества.

Уравнения Максвелла являются . Поэтому для их решения необходимо задать начальные и граничные условия. При фиксированных функциях плотности заряда и тока для нестационарных полей получаемое решение единственно. Этот факт формулируется в виде теоремы[81][82][83]:

Пусть электрическая и магнитная индукции связаны с напряжённостями полей при помощи следующих материальных уравнений:

где индекс указывает номер решения. Так как начальные и граничные условия заданы (одинаковые для обоих возможных решений), то:

Для единственности решения уравнений Максвелла вместо задания тангенциальных компонент поля можно потребовать выполнение на границе условия импедансного типа

В стационарных задачах электростатики и магнитостатики единственное решение для установившихся полей определяется только граничными условиями.

С развитием вычислительной техники стало возможным решать многие задачи электродинамики численными методами[84], которые позволяют определить распределение электромагнитного поля при заданных начальных и граничных условиях, используя алгоритмы, основанные на уравнениях Максвелла.

Основными методами являются проекционные, в которых решение проецируется на какой-либо удобный функциональный базис, и дискретизационные — область пространства разбивается на множество малых конечных областей.

Для компьютерных расчётов чаще применяются более универсальные дискретизационные методы: