Уравнение теплопроводности

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от , проверенной 13 января 2019; проверки требует .
Пример численного решения уравнения теплопроводности. Цветом и высотой поверхности передана температура данной точки.

Уравнение теплопроводности — дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, которое описывает распределение температуры в заданной области пространства и ее изменение во времени.

Данное уравнение можно объяснить следующим образом. Скорость изменения температуры во времени пропорциональна кривизне распределения температуры по пространству (второй производной). Иными словами, чем выше кривизна "горбов" температуры в теле, тем быстрее в этих местах идёт выравнивание температуры.

Для случая одной пространственной переменной x (задача о нагревании или охлаждении стержня) уравнение теплопроводности принимает вид

Для этого уравнения можно ставить и решать различные краевые задачи, один из методов решения которых предложен французским математиком Фурье и носит его имя[6]

Однородное уравнение теплопроводности с однородными граничными условиями

Затем предполагаемую форму решения подставим в исходное уравнение, получим

Обратим внимание на граничные условия исходной задачи и подставим в них предполагаемый вид уравнения, получим:

С учетом полученных граничных условий мы получаем задачу Штурма — Лиувилля:

Её решение сводится к решению линейного дифференциального уравнения и рассмотрению трёх случаев:

Неоднородное уравнение теплопроводности с однородными граничными условиями

Решим последнее линейное неоднородное уравнение методом вариации постоянной. Сначала найдём общее решение однородного линейного уравнения

Во многих случаях удаётся решить неоднородное уравнение теплопроводности с неоднородными краевыми и начальным условиями

с помощью методов, описанных выше и следующего несложного приёма. Представим искомую функцию в виде суммы: