Уравнение непрерывности

Уравне́ния непреры́вности — (сильная) локальная форма законов сохранения. Ниже приведены примеры уравнений непрерывности, которые выражают одинаковую идею непрерывного изменения некоторой величины.

Это общее уравнение может быть использовано для вывода любого уравнения непрерывности, начиная с простого уравнения неразрывности и до уравнения Навье — Стокса.

В электродинамике уравнение непрерывности выводится из уравнений Максвелла. Оно утверждает, что дивергенция плотности тока равна изменению плотности заряда со знаком минус,

Подставляя это выражение в предыдущее уравнение, получаем искомое уравнение непрерывности.

Плотность тока — это движение зарядов. Уравнение непрерывности гласит, что если заряд уходит из дифференциального объёма (то есть дивергенция плотности тока положительна), тогда количество заряда внутри объёма уменьшается. В этом случае приращение плотности заряда отрицательно.

В теории волн уравнение непрерывности выражает собой закон сохранения энергии в элементарном объёме, в котором распространяются волны любой природы. Его дифференциальная форма

Применяя формулу Гаусса — Остроградского к левой части выражения, получим

В силу произвольности выбранного объёма заключаем, что подынтегральные выражения равны, откуда и получаем дифференциальную форму уравнения непрерывности.

В гидродинамической литературе, например в работах Жуковского[1], Чаплыгина[2], Кочина[3], Лойцянского[4], уравнение, выражающее закон сохранения массы, называют уравнением неразрывности (условием неразрывности), тогда как в физической литературе, например в курсе Ландау и Лифшица[5], Зельдовича и Райзера[6], русском переводе курса Фейнмана[7], используется термин уравнение непрерывности. В старой литературе встречалось также название уравнение сплошности[8]. Все три названия являются различными вариантами перевода введённого Эйлером[9] названия уравнения в западноевропейских языках (англ. continuity equation, фр. équation de continuité и подобн.).

Уравнение выражает собой закон сохранения массы в элементарном объёме, то есть связь пространственного изменения потока массы жидкости или газа и скорости изменения плотности со временем. Его дифференциальная форма

имеющее очевидный физический смысл постоянства потока массы, а в случае среды с постоянной плотностью — уравнение

Аналогичную структуру имеет уравнение неразрывности для течений в каналах со свободной поверхностью, которое широко используется в гидравлике для описания русловых потоков (течения в реках, каналах и проч., движение селей, лавин и т. д.), для описания течений в плёнках и т. п. В простейшем случае течения жидкости с постоянной плотностью в канале с прямоугольным поперечным сечением точное уравнение неразрывности (иногда называемое уравнением Сен-Венана) имеет вид

В механике деформируемого твёрдого тела часто удобно записывать уравнение неразрывности в форме связи между начальной и конечной плотностями материальной частицы[10]. Например, в случае малых деформаций уравнение неразрывности имеет вид

Уравнение неразрывности имеет универсальный характер и справедливо для любой сплошной среды (вне зависимости от её реологии). Имеются обобщения уравнения неразрывности для движений многофазных[11] и многокомпонентых[10] сплошных сред.

В частных случаях, например для осесимметрических течений несжимаемой жидкости, уравнение неразрывности (в виде дифференциального уравнения в частных производных) было впервые получено Д’Аламбером, в общем виде — Эйлером в 1750-х годах. В форме алгебраического соотношения, выражающего (для случая несжимаемой жидкости) постоянство объёмного расхода вдоль трубки тока, уравнение неразрывности было впервые опубликовано Кастелли в первой половине XVII века[12].