Уравнение Шрёдингера

Уравне́ние Шрёдингера — линейное дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее изменение в пространстве (в общем случае, в конфигурационном пространстве) и во времени чистого состояния, задаваемого волновой функцией, в гамильтоновых квантовых системах.

Играет в квантовой механике такую же важную роль, как уравнения Гамильтона или уравнение второго закона Ньютона в классической механике или уравнения Максвелла для электромагнитных волн.

Сформулировано Эрвином Шрёдингером в 1925 году, опубликовано в 1926 году. Уравнение Шрёдингера не выводится, а постулируется методом аналогии с классической оптикой, на основе обобщения экспериментальных данных[1].

Уравнение Шрёдингера предназначено для частиц без спина, движущихся со скоростями, много меньшими скорости света. В случае быстрых частиц и частиц со спином используются его обобщения (уравнение Клейна — Гордона, уравнение Паули, уравнение Дирака и др.).

В начале XX века учёные пришли к выводу, что между предсказаниями классической теории и экспериментальными данными об атомной структуре существует ряд расхождений. Открытие уравнения Шрёдингера последовало за революционным предположением де Бройля, что не только свету, но и вообще любым телам (в том числе и любым микрочастицам) присущи волновые свойства.

Исторически окончательной формулировке уравнения Шрёдингера предшествовал длительный период развития физики. Само уравнение было сформулировано Эрвином Шрёдингером в 1925 году, в процессе объяснения, по просьбе Петера Дебая, идей де Бройля о волновой природе микрочастиц группе аспирантов Цюрихского университета[2]. Опубликовано в 1926 году[3].

За открытие этого уравнения Э. Шрёдингер получил Нобелевскую премию по физике 1933 года[4].

Наиболее общая форма уравнения Шрёдингера — это форма, включающая зависимость от времени[5][6]:

Волновая функция, являющаяся решением уравнения Шрёдингера, и её первые производные, должны быть однозначными и непрерывными во всём пространстве. Непрерывность производных физически означает непрерывность плотности потока[7].

Средние значения механических величин для волнового пакета, который можно описать уравнением Шрёдингера, удовлетворяют классическим уравнениям Гамильтона (теорема Эренфеста)[8].

Уравнение Шрёдингера инвариантно относительно преобразований Галилея. Из этого факта вытекает ряд важных следствий: существование ряда операторов квантовой механики, связанных с преобразованиями Галилея, невозможность описания состояний со спектром масс или нестабильные элементарные частицы в нерелятивистской квантовой механике (теорема Баргмана), существование квантовомеханических инвариантов, порождаемых преобразованием Галилея[9].

Уравнение Шрёдингера является более сложным по сравнению с уравнениями Гамильтона классической механики. Уравнения Гамильтона являются системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, а уравнение Шрёдингера является дифференциальным уравнением в частных производных[10].

Уравнение Шрёдингера не может объяснить спонтанного излучения, так как волновая функция возбуждённого состояния является точным решением зависящего от времени уравнения Шрёдингера[16][17].

Уравнение Шрёдингера не может описывать процесс измерения в квантовой механике, поскольку оно линейно, детерминистично и обратимо во времени, а процесс измерения нелинеен, стохастичен и необратим во времени[18].

Уравнение Шрёдингера не может описывать процессы взаимных превращений элементарных частиц. Процессы взаимных превращений частиц описывает релятивистская квантовая теория поля.

стационарным уравнением Шрёдингера (уравнение Шрёдингера, не содержащее времени)

Существование предельного перехода от уравнения Шредингера к уравнению Гамильтона — Якоби и даёт основание рассматривать механику Ньютона как предельный случай более общей квантовой механики, пригодной для описания как микроскопических, так и макроскопических объектов (принцип соответствия).

Уравнение Шрёдингера можно получить из принципа наименьшего действия, рассматривая как уравнение Эйлера

некоторой вариационной задачи, в которой плотность лагранжиана имеет вид[29][30]:

К уравнению Шредингера можно прийти путём обобщения волнового уравнения на случай волн Де Бройля:[32]

Если волновая функция является монохроматической, то решение этого уравнения можно представить в виде:

Для перехода к нестационарному уравнению Шредингера представим стационарное уравнение Шредингера в виде:

В квантовой механике производную по времени от волновой функции можно рассматривать как оператор смещения по времени, по аналогии с классической механикой и соотношению между энергией и временем, можно предположить, что его роль всегда играет гамильтониан. Отсюда немедленно следует уравнение Шрёдингера[33][34].

К уравнению Шрёдингера можно прийти, опираясь на соответствие между классической механикой и геометрической оптикой. Понятиям материальной точки, траектории, скорости, потенциальной энергии, энергии, вариационному принципу Мопертюи в классической механике соответствуют понятия волнового пакета, луча, групповой скорости, фазовой скорости (показателя преломления), частоты, вариационного принципа Ферма в геометрической оптике[35].

Тогда условие равенства скорости материальной точки и групповой скорости волнового пакета можно записать в виде[37]:

Подставляя (11) в (10) получаем зависящее от времени уравнение Шрёдингера (12)[38]:

В квантовой теории поля при изучении релятивистских процессов с уничтожением и рождением элементарных частиц известно обобщение уравнения Шредингера в вариационных производных:

Это уравнение может быть переписано в форме функционального дифференциального уравнения Швингера — Томонаги: