Уравнение Клейна — Гордона

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от , проверенной 17 марта 2020; проверки требуют .

Уравнение Клейна — Гордона (иногда Клейна — Гордона — Фока, Клейна — Фока[1][2], Шрёдингера — Гордона[3]) — релятивистская версия уравнения Шрёдингера:

Используется для описания быстро движущихся частиц, имеющих массу (массу покоя). Строго применимо к описанию скалярных массивных полей (таких как поле Хиггса). Может быть обобщено для частиц с целым и полуцелым спинами[4]. Кроме прочего, ясно, что уравнение является обобщением волнового уравнения, подходящего для описания безмассовых скалярных и векторных полей.

Механические системы (реальные или воображаемые), описывающиеся уравнением Клейна — Гордона — Фока, могут быть простыми модификациями систем, описывающихся волновым уравнением, например:

Уравнение, в котором последний («массовый») член имеет знак, противоположный обычному, описывает в теоретической физике тахион. Такой вариант уравнения также допускает простую механическую реализацию.

Уравнение Клейна — Гордона — Фока для свободной частицы (которое и приведено выше) имеет простое решение в виде синусоидальных плоских волн.

Уравнение, названное именами Оскара Клейна и Вальтера Гордона, первоначально записал Эрвин Шрёдингер до записи нерелятивистского уравнения, которое носит сейчас его имя. Он отказался от него (не опубликовав), потому что не смог включить в это уравнение спин электрона. Шрёдингер сделал упрощение уравнения и нашёл «своё» уравнение.

В 1926 году, вскоре после публикации уравнения Шрёдингера, Фок[5][6] написал статью о его обобщении на случай магнитных полей, где силы зависели от скорости, и независимо вывел это уравнение. И Клейн[7] (его работа появилась несколько раньше, но вышла из печати уже после того, как статья Фока была принята в журнал), и Фок использовали метод Калуцы — Клейна. Фок также ввёл калибровочную теорию для волнового уравнения.

Уравнение Шрёдингера не является релятивистски ковариантным, то есть не согласуется со специальной теорией относительности (СТО).

Используем релятивистское дисперсионное (связывающее энергию и импульс) соотношение (из СТО):

Тогда просто подставляя квантовомеханические оператор импульса и оператор энергии[9], получаем:

Искать решение уравнения Клейна — Гордона — Фока для свободной частицы

можно, как и для любого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, в виде суперпозиции (то есть любой, конечной или бесконечной линейной комбинации) плоских волн:

Плоская волна, как легко заметить, описывает чистое состояние с определённой энергией и импульсом (то есть является собственной функцией соответствующих операторов). Энергия и импульс (то есть собственные значения этих операторов), исходя из этого, могут быть для неё просто посчитаны, как и в случае нерелятивистской частицы:

Причём ясно, что соотношение для средних величин будет выполняться не только для состояний с определённой энергией и импульсом, но и для любой их суперпозиции, то есть для любого решения уравнения Клейна — Гордона — Фока (что, в частности, обеспечивает выполнение этого соотношения и в классическом пределе).