Уравнение Гамильтона — Якоби

В физике и математике, уравнением Гамильтона — Якоби называется уравнение следующего вида

Непосредственно относится к классической (не квантовой) механике, однако хорошо приспособлено для установления связи между классической механикой и квантовой, так как его можно, например, получить практически прямо из уравнения Шрёдингера в приближении быстроосциллирующей волновой функции (больших частот и волновых чисел).

В классической механике возникает обычно из специального канонического преобразования классического гамильтониана, которое приводит к этому нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка, решение которого описывает поведение динамической системы.

Следует отличать уравнение Гамильтона — Якоби от уравнений движения Гамильтона и Эйлера — Лагранжа. Хотя это уравнение и выводится из них, но представляет собой одно уравнение, описывающее динамику механической системы с любым количеством степеней свободы s, в отличие от 2s уравнений Гамильтона и s уравнений Эйлера — Лагранжа.

Уравнение Гамильтона — Якоби помогает элегантно решить задачу Кеплера.

Уравнение Гамильтона — Якоби немедленно следует из того факта, что для любой производящей функции S(q, p',t) (пренебрегая индексами) уравнения движения не изменяются для H(q, p, t) и H'(q',p',t)

Уравнение Гамильтона — Якоби появляется из специфической производящей функции S, которая делает H' тождественной нулю. В этом случае все его производные зануляются, и

Таким образом, в штрихованной системе координат система совершенно стационарна в фазовом пространстве. Однако мы еще не определили, при помощи какой производящей функции S достигается преобразование в штрихованную систему координат. Мы используем тот факт, что