Универсальное свойство

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от , проверенной 5 декабря 2018; проверки требует .

Во многих областях математики полезную конструкцию часто можно рассматривать как «наиболее эффективное решение» определенной проблемы. Определение универсального свойства использует язык теории категорий, чтобы сделать это определение точным и изучать его теоретическими методами.

В этой статье даётся общее описание универсального свойства. Чтобы лучше понять эту концепцию, будет полезно сначала изучить несколько примеров, которых существует довольно много: прямое произведение и копроизведение, свободная группа, группа Гротендика, компактификация Стоуна — Чеха, тензорное произведение, прямой предел и обратный предел, ядро и коядро, декартов квадрат и кодекартов квадрат, уравнитель и коуравнитель.

Прежде чем давать формальное определение, предложим некоторую мотивировку для изучения подобных конструкций.

Пусть U: DC — функтор из категории D в категорию C, а X — объект категории C. Рассмотрим следующие двойственные определения:

Начальная (отталкивающая) стрелка из X в U — это начальный объект в категории морфизмов из X в U. Другими словами, это пара (A, φ), где A — это объект категории D и φ: XU(A) — это морфизм в категории C, такой что выполняется следующее начальное свойство:

Терминальная (притягивающая) стрелка из U в X — это терминальный объект в категории морфизмов из U в X. Другими словами, это пара (A, φ), где A — объект категории D и φ: U(A) → X — морфизм в категории C, такой что выполняется следующее терминальное свойство:

Термин универсальная стрелка означает «начальная либо терминальная стрелка», термин универсальное свойство означает «начальное либо терминальное свойство».

Здесь будет приведено несколько примеров, иллюстрирующих общую идею. Читатель сможет сконструировать множество других примеров, прочитав статьи, цитировавшиеся во введении.

Пусть C — категория векторных пространств над полем K и D — категория ассоциативных алгебр над K. Рассмотрим забывающий функтор

По произвольному объекту X из K-Vect — векторному пространству V — можно получить его тензорную алгебру T(V). А именно, она характеризуется следующим универсальным свойством:

«Любое линейное отображение из V в K-алгебру A может быть единственным образом продолжено до гомоморфизма алгебр T(V)A

Это утверждение описывает начальное свойство тензорной алгебры, то есть тот факт, что пара (T(V), i), где i : VT(V) — стандартное вложение, является начальной стрелкой из векторного пространства V в функтор U. Мы получили функтор T из K-Vect в K-Alg Это значит, что T является левым сопряженным функтором забывающего функтора U (см. раздел «связь с сопряжёнными функторами»).

Произведение в теории категорий можно охарактеризовать его универсальным свойством. А именно: пусть X и Y — объекты категории D, а C — произведение категорий D × D. Определим диагональный функтор

как Δ(X) = (X, X) и Δ(f : XY) = (f, f). Тогда если (A, φ) — терминальная стрелка из Δ в (X, Y) — объект категории D × D, то A — объект категории D, называющийся прямым произведением X × Y, а φ — пара проекций

Определение некоего свойства не гарантирует существование объекта, ему удовлетворяющего. Если однако, такой (A, φ) существует, то он единственен. Точнее говоря, он единственен с точностью до единственного изоморфизма. Проверим это для случая начальной стрелки: если (A′, φ′) — другая такая пара, то существует единственный изоморфизм k: AA′ такой что φ′ = U(k)φ. Это легко увидеть, заменив (Y, f) из определения начального свойства на (A′, φ′).

Определение универсальной стрелки может быть перефразировано множеством способов. Пусть U — функтор из D в C, X — объект категории С. Тогда следующие формулировки эквивалентны:

Пусть (A1, φ1) — начальная стрелка из X1 в U и (A2, φ2) — начальная стрелка из X2 в U. По начальному свойству любому морфизму h: X1X2 соответствует единственный морфизм g: A1A2, такой что следующая диаграмма коммутативна:

В действительности все пары сопряженных функторов получаются из конструкций такого вида. Пусть F: СD и G: DC — пара сопряжённых функторов с единицей η и коединицей ε (см. статью сопряженные функторы). Тогда существуют универсальные морфизмы для каждого объекта категорий C и D:

Универсальные конструкции являются более общими, чем конструкции сопряженных функторов: универсальная конструкция похожа на задачу оптимизации, и пара сопряжённых функторов определена, только если эта задача имеет решение для всех объектов категории.

Универсальные свойства многих топологических конструкций были описаны Пьером Самюэлем в 1948 году. Позднее они активно использовались Бурбаки. Тесно связанная с этим концепция сопряженных функторов была независимо предложена Даниэлем Каном в 1958 году.