Умножение матриц

Умноже́ние ма́триц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения, называется произведе́нием ма́триц. Элементы новой матрицы получаются из элементов старых матриц в соответствии с правилами, проиллюстрированными нижеПерейти к разделу «Иллюстрация».

Матрицы обладают многими алгебраическими свойствами умножения, присущими обычным числам, за исключением коммутативностиПерейти к разделу «Свойства».

Для квадратных матриц, помимо умножения, может быть введена операция возведения матрицы в степеньПерейти к разделу «Степени матриц» и обратная матрицаПерейти к разделу «Обратная матрица».

Тогда как матрицы используются для описания, в частности, преобразований математических пространств (поворот, отражение, растяжение и другие), произведение матриц будет описывать композицию преобразованийПерейти к разделу «Обсуждение».

Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором; в этом случае говорят, что матрицы согласованы. В частности, умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя — квадратные матрицы одного и того же порядка.

Произведение матриц AB A и вектор-столбцов матрицы B. Элемент матрицы AB с индексами i, j есть скалярное произведение i-ой вектор-строки матрицы A и j-го вектор-столбца матрицы B.

состоит из всех возможных комбинаций скалярных произведений вектор-строк матрицы

Иллюстрация справа демонстрирует вычисление произведения двух матриц A и B, она показывает как каждые пересечения в произведении матриц соответствуют строкам матрицы A и столбцам матрицы B. Размер результирующей матрицы всегда максимально возможный, то есть для каждой строки матрицы A и столбца матрицы B есть всегда соответствующее пересечение в произведении матрицы.

В общем случае, произведение матриц не является коммутативной операцией. К примеру:

Увидеть причины описанного правила матричного умножения легче всего, рассмотрев умножение вектора на матрицу.

Последнее естественно вводится исходя из того, что при разложении векторов по базису действие (любого) линейного оператора A даёт выражение компонент вектора v' = Av:

Рассмотрев последовательное действие на вектор двух операторов: сначала A, а потом B (или преобразование базиса A, а затем преобразование базиса B), дважды применив нашу формулу, получим:

откуда видно, что композиции BA действия линейных операторов A и B (или аналогичной композиции преобразований базиса) соответствует матрица, вычисляемая по правилу произведения соответствующих матриц:

Определённое таким образом произведение матриц оказывается совершенно естественным и очевидно полезным (даёт простой и универсальный способ вычисления композиций произвольного количества линейных преобразований).

Определитель и след произведения не зависят от порядка умножения матриц:

Квадратные матрицы можно многократно умножать сами на себя так же, как обычные числа, так как у них одинаковое число строк и столбцов. Такое последовательное умножение можно назвать возведением матрицы в степень — это будет частный случай обычного умножения нескольких матриц. У прямоугольных матриц число строк и столбцов разное, поэтому их никогда нельзя возводить в степень. Матрица A размерности n × n, возведённая в степень, определяется формулой

где E - единичная матрица. Это аналог того факта, что нулевая степень любого числа равна единице.

Наиболее простой способ вычисления степени матрицы — это умножать k раз матрицу A на результат предыдущего умножения, начиная с единичной матрицы, как это часто делают для скаляров. Для диагонализируемых матриц существует лучший метод, основанный на использовании спектрального разложения матрицы A. Ещё один метод, основанный на теореме Гамильтона — Кэли, строит более эффективное выражение для Ak, в котором в требуемую степень возводится скаляр, а не вся матрица.

Особый случай составляют диагональные матрицы. Так как произведение диагональных матриц сводится к умножению соответствующих диагональных элементов, то k-ая степень диагональной матрицы A состоит из элементов, возведённых в требуемую степень:

Таким образом, возвести диагональную матрицу в степень несложно. При возведении произвольной матрицы (не обязательно диагональной) в степень часто полезным оказывается использовать сначала свойства диагонализируемых матриц.

Используя умножение матриц и возведение матриц в степень, можно определить другие операции над матрицами. Например, матричная экспонента может быть определена через степенной ряд, матричный логарифм[en] — как обратная к матричной экспоненте функция и так далее.