Точка (геометрия)

Точка P и её координаты в трёхмерной системе координат (с осью Х, направленной к читателю)

То́чка — одно из фундаментальных понятий математики, абстрактный объект в пространстве, не имеющий никаких измеримых характеристик (нульмерный объект).

В евклидовой геометрии точка — это неопределяемое понятие, на котором строится геометрия, то есть точка не может быть определена в терминах ранее определённых объектов. Иными словами, точка определяется только некоторыми свойствами, называемыми аксиомами, которым она должна удовлетворять. В частности, геометрические точки не имеют никакой длины, площади, объёма или какой-либо другой размерной характеристики. Распространённым толкованием является то, что понятие точки предназначено для обозначения понятия уникального местоположения в евклидовом пространстве[1].

Евклид первой аксиомой в своих «Началах» определил точку как «объект, не имеющий частей». В современной аксиоматике евклидовой геометрии точка является первичным понятием, задаваемым лишь перечнем его свойств — аксиомами.

В выбранной системе координат любую точку двумерного евклидова пространства можно представить как упорядоченную пару (x; y) действительных чисел. Аналогично, точку n-мерного евклидова пространства (а также векторного или аффинного пространства) можно представить как кортеж (a1, a2, … , an) из n чисел.

В дополнение к определению точек и объектов, связанных с точками, Евклид также постулировал ключевую идею, что любые две точки могут быть соединены прямой линией. Это позволило построить почти все геометрические понятия, известные в то время. Однако постулат Евклида о точках не был ни полным, ни окончательным, и содержал также положения, которые не следовали непосредственно из его аксиом, такие как упорядочение точек на линии или существование определённых точек. Некоторые современные расширения системы Евклида устраняют эти противоречия.

Во всех общих определениях размерности точка является 0-мерным объектом, но при этом описывается по-разному в различных концепциях размерности.

Точка является нульмерной по отношению к размерности покрытия, потому что каждое открытое покрытие пространства имеет уточнение, состоящее из одного открытого множества.

Точка имеет размерность Хаусдорфа 0, потому что она может быть покрыта одной сферой произвольно малого радиуса.

Понятие точки является фундаментальным в большинстве направлений геометрии и топологии, но существуют математические концепции, в принципе отказывающиеся от понятия точки, например, и Pointless topology (русскоязычного эквивалента термина пока не существует). В этих подходах «пространство без точек» определяется не как множество, а через некоторую структуру (соответственно алгебраическую или логическую), которая выглядит как хорошо известное функциональное пространство на множестве: алгебра непрерывных отображений или алгебра множеств соответственно. Точнее, такие структуры обобщают известные пространства функций таким образом, что операция «принять значение в этой точке» может быть не определена. Исследования таких структур содержатся в некоторых трудах А. Н. Уайтхеда.