Топологическое пространство

Топологи́ческое простра́нство — множество с дополнительной структурой определённого типа (так называемой топологией); является основным объектом изучения топологии.

Исторически понятие топологического пространства появилось как обобщение метрического пространства. Топологические пространства естественным образом возникают почти во всех разделах математики.

Три аксиомы, определяющие общий класс топологических пространств, часто дополняются теми или иными аксиомами отделимости, в зависимости от которых выделяют различные классы топологических пространств, например, тихоновские пространства, хаусдорфовы пространства, регулярные, вполне регулярные, нормальные пространства и др.

Кроме этого, на свойства топологических пространств сильно влияет выполнение тех или иных аксиом счётности — первая аксиома счётности, вторая аксиома счётности (пространства со счётной базой топологии), а также сепарабельность пространства. Из наличия счётной базы топологии следует сепарабельность и выполнение первой аксиомы счётности. Кроме того, например, регулярные пространства со счётной базой являются нормальными и, более того, метризуемы, то есть их топология может быть задана некоторой метрикой. Для компактных хаусдорфовых пространств наличие счётной базы топологии является необходимым и достаточным условием метризуемости. Для метрических пространств наличие счётной базы топологии и сепарабельность — эквивалентны.

Все множества такого вида образуют систему множеств, удовлетворяющую перечисленным аксиомам, так как

Понятие топологии является минимально необходимым для того, чтобы говорить о непрерывных отображениях. Интуитивно непрерывность есть отсутствие разрывов, то есть близкие точки при непрерывном отображении должны переходить в близкие. Оказывается, для определения понятия близости точек можно обойтись без понятия расстояния. Именно это и есть топологическое определение непрерывного отображения.