Теория чисел

Теория чисел или высшая арифметика — раздел математики, первоначально изучавший свойства целых чисел. В современной теории чисел рассматриваются и другие типы чисел — например, алгебраические и трансцендентные, а также функции различного происхождения, которые связаны с арифметикой целых чисел и их обобщений.

В исследованиях по теории чисел, наряду с арифметикой и алгеброй, применяются геометрические и аналитические методы, а также методы теории вероятностей[1]. В свою очередь, теория чисел оказала влияние на развитие математического анализа, геометрии, классической и современной алгебры, теории суммируемости рядов, теории вероятностей и др.[2].

По своим методам теория чисел делится на четыре части: элементарную, аналитическую, алгебраическую и геометрическую. Методы теории чисел широко применяются в криптографии, вычислительной математике, информатике[2].

В элементарной теории чисел целые числа изучаются без использования методов других разделов математики. Среди основных тематических направлений элементарной теории чисел можно выделить следующие[3]:

В аналитической теории чисел для вывода и доказательства утверждений о числах и числовых функциях используется мощный аппарат математического анализа (как вещественного, так и комплексного), иногда также теория дифференциальных уравнений. Это позволило значительно расширить тематику исследований теории чисел. В частности, в неё вошли следующие новые разделы[3]:

В алгебраической теории чисел понятие целого числа расширяется, в качестве алгебраических чисел рассматривают корни многочленов с рациональными коэффициентами. Была разработана общая теория алгебраических и трансцендентных чисел. При этом аналогом целых чисел выступают целые алгебраические числа, то есть корни унитарных многочленов с целыми коэффициентами. В отличие от целых чисел, в кольце целых алгебраических чисел не обязательно выполняется свойство факториальности, то есть единственности разложения на простые множители.

Теория алгебраических чисел обязана своим появлением изучению диофантовых уравнений, и в том числе попыткам доказать великую теорему Ферма. Куммеру принадлежит равенство

После определения алгебраических и трансцендентных чисел в алгебраической теории чисел выделилось направление, которое занимается доказательством трансцендентности конкретных чисел, и направление, которое занимается алгебраическими числами и изучает степень их приближения рациональными и алгебраическими[4].

Одним из основных приёмов является вложение поля алгебраических чисел в своё пополнение по какой-то из метрик — архимедовой (например, в поле вещественных или комплексных чисел) или неархимедовой (например, в поле p-адических чисел).

Геометрическая теория чисел изучает в основном «пространственные решётки» — системы точек с целочисленными координатами (в прямоугольной или косоугольной системе координат). Эти конструкции имеют большое значение для геометрии и для кристаллографии, их исследование тесно связано с арифметической теорией квадратичных форм и с другими важными разделами теории чисел. Основателем геометрической теории чисел стал Герман Минковский[2].

Теория делимости появилась в 399 году до н. э. и принадлежит, по-видимому, Теэтету. Евклид посвятил ей книгу VII «Начал» и часть книги IX. В основе теории лежит алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел. Следствием алгоритма является возможность разложения любого числа на простые сомножители, а также единственность такого разложения. Закон однозначности разложения на простые множители является основой арифметики целых чисел[10].

VII, VIII и IX книги, входящие в «Начала» Евклида, посвящены простым числам и делимости. В частности, там описывается алгоритм нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (алгоритм Евклида) и доказывается бесконечность множества простых чисел[11].

Китайская теорема об остатках входила в качестве упражнения в трактат Сунь Цзы «Сунь Цзы Суань Цзин» (кит. упр. 孙子算经, пиньинь sūnzǐ suànjīng)[11]. В его решении был опущен один из важных шагов, полное доказательство впервые получено Ариабхатой в VI веке н. э.[источник не указан 3380 дней].

В начале XX века А. Н. Коркин, Е. И. Золотарёв и А. А. Марков продолжили работу над теорией квадратичных форм. Коркин и Золотарёв доказали теорему о переменных положительной кватернарной квадратичной формы, а Марков занимался изучением минимумов бинарных квадратичных форм положительного определителя. Формулы, сформулированные Дирихле для целых точек в областях на плоскости, нашли своё развитие в работах Г. Ф. Вороного, который в 1903 году определил порядок остаточного члена. В 1906 году метод был успешно перенесён на проблему Гаусса о числе целых точек в круге В. Серпиньским[4].

Другим направлением работ явилось определение Риманом дзета-функции и доказательство того, что она аналитически продолжается на всю плоскость комплексного переменного и обладает рядом других свойств. Риман также высказал гипотезу о нулях дзета-функции. Работая над дзета-функциями, Ш. ла Валле Пуссен и Жак Адамар сформулировали в 1896 году асимптотический закон распределения простых чисел. Использованный ими метод получения асимптотических формул, или метод комплексного интегрирования, стал широко использоваться в дальнейшем[4].

Большой вклад в развитие теории чисел внёс И. М. Виноградов, доказавший неравенство о числе квадратичных вычетов и невычетов на отрезке, определивший метод тригонометрических сумм, который позволил упростить решение проблемы Варинга, а также решение ряда задач по распределению дробных долей функции, определению целых точек в области на плоскости и в пространстве, порядок роста дзета-функции в критической полосе. В задачах, связанных с тригонометрическими суммами, важным является как можно более точная оценка их модуля. Виноградов предложил два метода такой оценки. Кроме того, он вместе с учениками разработал ряд методов, которые позволяют решить задачи, выводимые из гипотезы Римана[4].

Многочисленные работы по теории чисел относятся ко второй половине XX века. Ю. В. Линник разработал дисперсионный метод, который позволил вывести асимптотические формулы для проблемы Харди — Литлвуда и проблемы простых делителей Титчмарша[4].

Вместе с тем, в теории чисел существует большое количество открытых проблем.