Теория упругости

Тео́рия упру́гости — раздел механики сплошных сред, изучающий деформации упругих твёрдых тел, их поведение при статических и динамических нагрузках.

Главная задача теории упругости — выяснить, каковы будут деформации тела и как они будут меняться со временем при заданных внешних воздействиях. Основной системой уравнений для решения этой задачи являются три уравнения равновесия, содержащие шесть неизвестных компонентов симметричного тензора напряжений. Симметричность тензора напряжений постулируется при этом гипотезой парности касательных напряжений. Для замыкания системы используют так называемые уравнения совместности деформаций (действительно, для тела, остающегося в процессе деформации сплошным, есть компоненты тензора деформации, которые не могут быть независимыми — эти компоненты выражаются через три функции — составляющие перемещения точки тела: симметричные соотношения Коши). Шесть уравнений совместности деформаций и уравнения обобщённого закона Гука замыкают задачу теории упругости.

Теория упругости является фундаментом инженерного дела и архитектуры. Кроме очевидных статических задач (устойчивость зданий и других сооружений, прочность транспортных средств), теория упругости привлекается и для решения динамических задач (например, устойчивость конструкций при землетрясениях и под действием мощных звуковых волн; виброустойчивость различных аппаратов и установок). Теория упругости здесь пересекается с материаловедением и служит одним из опорных пунктов при поиске новых материалов. Теория упругости важна также и для сейсморазведки.

Основные неизвестные — три компоненты вектора перемещений (в дальнейшем — перемещения). Они должны удовлетворять трём уравнениям равновесия, записанным в перемещениях (уравнения Ламе). В каждой неособенной точке поверхности тела перемещения должны удовлетворять трём граничным условиям. Граничные условия могут быть сформулированы в трёх вариантах:

По известным перемещениям деформации определяются дифференцированием (симметричные соотношения Коши). Найденные по перемещениям деформации тождественно удовлетворяют шести уравнениям совместности деформаций По известным перемещениям можно найти дифференцированием компоненты тензора поворотов и псевдовектора поворотов (антисимметричные соотношения Коши). По известным деформациям напряжения определяются алгебраически (уравнения закона Гука).

2. Постановка задач теории упругости в напряжениях. Основные неизвестные — шесть компонент симметричного тензора напряжений. Они должны удовлетворять трём уравнениям равновесия, записанным в напряжениях, и шести уравнениям совместности деформаций, записанным с помощью уравнений закона Гука в напряжениях. Деформации определяются алгебраически по найденным напряжениям из обратных уравнений закона Гука. Перемещения интегрируются в квадратурах по найденным деформациям с помощью формул Чезаро, причем интегрируемость обеспечена, так как удовлетворены уравнения совместности деформаций. Для упрощения постановки напряжения можно выразить через тензорный потенциал так, что уравнения равновесия будут удовлетворяться тождественно, а уравнения совместности распадутся на отдельные уравнения для каждой из компонент тензора-потенциала напряжений. Удерживая те или иные компоненты симметричного тензора-потенциала напряжений, а остальные полагая нулю, можно получить как частные случаи известные постановки Максвелла, Моррера, Эйри.

Если упругое тело под действием внешних сил находится в равновесии (то есть скорости всех его точек равны нулю), то в равновесии находится и любая его часть, которую мысленно можно из него выделить. Из тела выделяется бесконечно малый прямоугольный параллелепипед, грани которого параллельны координатным плоскостям декартовой системы. Из условия равновесия параллелепипеда с размерами ребер dx, dy, dz, рассмотрев условия равновесия сил в проекциях, можно получить:

Аналогично получаются уравнения равновесия, выражающих равенство нулю главного момента всех сил, действующих на параллелепипед, которые приводятся к виду:

С помощью этих обозначений можно записать матрицу упругости для любой линейно-упругой среды как:

Простейший анизотропный случай кубической симметрии имеет 3 независимых элемента:


Случай поперечной изотропии, также называемой полярной анизотропией (с одной осью симметрии), имеет 5 независимых элементов:

Когда поперечная изотропия слаба (то есть близка к изотропии), альтернативная параметризация, использующая параметры Томсена, оказывается удобной для записи формул скоростей волн.