Инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории — это такой объект, из которого в любой объект категории существует единственный морфизм.

Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.

Объект категории называется нулевым, если он одновременно инициальный и терминальный.

Если произведение и копроизведение существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

Понятие естественного преобразования выражает связь между двумя функторами. Функторы часто описывают «естественные конструкции», в этом смысле естественные преобразования описывают «естественные морфизмы» таких конструкций.