Теория возмущений

Теория возмущений — метод приближенного решения задач теоретической физики, применимый в том случае, когда в задаче присутствует малый параметр, причём в пренебрежении этим параметром задача имеет точное решение.

Физические величины, рассчитанные по теории возмущений, имеют вид ряда

поэтому уравнения движения планеты, записанные через них, содержат малый параметр в правой части:

Ввиду этого, решать уравнения движения удобно методом последовательных приближений. В первом приближении подставим в правую часть решения невозмущённого уравнения, и найдём:

Для нахождения второго приближения подставляем найденное решение в правую часть (*) и решаем получившиеся уравнения и т. д.

Теория возмущений в квантовой механике применяется в том случае, когда гамильтониан системы можно представить в виде

Задача состоит в нахождении собственных функций гамильтониана (стационарных состояний) и соответствующих уровней энергии. Будем искать решения уравнения Шрёдингера для нашей системы

Подставляя (***) в (**), с точностью до членов первого порядка по возмущению получим

Аналогичным образом находятся поправки следующих порядков, хотя формулы сильно усложняются.

Тем не менее, существует теорема о том, что ряд теории возмущений в КЭД является не сходящимся, а лишь асимптотическим. Это означает, что, начиная с некоторого (на практике — очень большого) порядка теории возмущений согласие между приближённым и точным решением будет уже не улучшаться, а ухудшаться[2].

Несмотря на свою кажущуюся универсальность, метод теории возмущений не срабатывает в определённом классе задач. Примерами могут являться инстантонные эффекты в ряде задач квантовой механики и квантовой теории поля. Инстантонные вклады обладают существенными особенностями в точке разложения. Типичный пример инстантонного вклада имеет вид: