Тензор напряжений

Те́нзор напряже́ний (иногда тензор напряжений Коши) — тензор второго ранга описывает механические напряжения в произвольной точке нагруженного тела, возникающих в этой точке при его (тела) малых деформациях. В случае объёмного тела, тензор часто записывается в виде матрицы 3х3:

В случае больших деформаций (конечные деформации), приходится использовать такие подходы как Тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа, Тензор Биота, или Тензор напряжения Кирхгофа.

Простейшей иллюстрацией, позволяющей понять физический смысл тензора напряжений, будет, вероятно, не рассмотрение случая напряжения в некотором объёмном теле, а, наоборот, рассмотрение напряжения в плоском двумерном теле. Для этого рассмотрим напряжение отрезка ткани под внешней нагрузкой (см. рис. А).

На рисунке изображен прямоугольный кусок ткани под внешней нагрузкой, которая изображена чёрными стрелками по периметру прямоугольника. В данном случае нагрузкой может служить растяжение её руками в разные стороны, или натягивание ткани на какую-то сложную форму.

Интуитивно понятно, что из-за формы, ориентации молекул, атомных слоёв и разного плетения волокон (на рис.А расположение волокон схематично изображено мелкой серой сеткой) в разных точках ткани напряжение будет разным: где-то будут области, которые подвергаются вертикальному растяжению, а в других областях волокна будут испытывать напряжение сдвига.

Для предсказания того, куда будет развиваться разрез как раз и используется тензор напряжений. Математически данное предсказание выглядело бы так:

При отсутствии собственного момента импульса сплошной среды, а также объемных и поверхностных пар тензор напряжений симметричен (так называемый закон парности касательных напряжений), что является следствием уравнения баланса момента импульса. В частности, тензор напряжений симметричен в классической теории упругости и гидродинамике идеальной и линейно-вязкой жидкостей.

С точки зрения теории относительности, компоненты тензора напряжений являются девятью пространственными компонентами тензора энергии-импульса.

В классической электродинамике тензор напряжений электромагнитного поля (максвелловский тензор напряжений[1], тензор натяжений Максвелла[2]) в Международной системе единиц (СИ) имеет вид: