Тензор

В различных приложениях часто применяются так называемые тензорные поля, когда различным точкам пространства (многообразия) соответствуют разные тензоры (например, тензор напряжений внутри объекта может различаться от точки к точке). Тем не менее, часто их упрощенно тоже называют тензорами.

Тензоры были придуманы в 1900 году Туллио Леви-Чивита и Грегорио Риччи-Курбастро, которые продолжили более ранние работы Бернхарда Римана и Элвина Бруно Кристоффеля.

Линейные функционалы являются ковекторами (ковариантными тензорами 1 ранга), поэтому при смене базиса их координаты преобразуются также как и базис (с помощью той же матрицы). Для примера рассмотрим то же двумерное евклидово пространство с тем же первоначальным красным базисом и зеленым вектором.

Значение линейного функционала не зависит от выбранного базиса, а зависит только от аргумента-вектора, который тоже от базиса не зависит, тем не менее в координатной записи и вектор и ковектор зависят от базиса.

Существует несколько по существу эквивалентных определений тензоров. Их эквивалентность связана с тем, что между множествами объектов (включая и тензорные операции и отношения между ними), порождаемых этими определениями, можно установить взаимно-однозначное соответствие (говорят пространства этих объектов изоморфны друг другу).

Частными случаями псевдотензоров являются псевдоскаляры и псевдовекторы. Пример псевдоскаляра - так называемый ориентированный объем. Пример псевдовектора - результат векторного произведения в трехмерном пространстве, например вектор момента импульса. Псевдотензорами являются также символы Леви-Чивиты.

Любой набор чисел (например, матрица), при отсутствии или несоответствии закона их изменения при изменении базиса пространства тензорному закону преобразования координат, тензором не является. Не являются тензорами также многоиндексные объекты, которые хотя бы в одном базисе равны нулю (все координаты в этом базисе равны нулю).

К тензорам не относятся также сами матрицы преобразования координат (матрицы Якоби), являющегося частным случаем диффеоморфизма между двумя многообразиями, с помощью которых и вводится классическое определение тензора, хотя по многим своим свойствам они напоминают тензор. Для них также можно ввести верхние и нижние индексы, операции умножения, сложения и свёртки. Однако, в отличие от тензора, компоненты которого зависят лишь от координат на заданном многообразии, компоненты матрицы Якоби также зависят от координат на многообразии-образе. Это различие очевидно в том случае, когда рассматриваются матрицы Якоби диффеоморфизма двух произвольных многообразий, однако при отображении многообразия в себя его можно не заметить, так как касательные пространства образа и прообраза изоморфны (не канонически). Тем не менее, оно сохраняется. Аналогию между матрицами Якоби и тензорами можно развить, если рассматривать произвольные векторные расслоения над многообразием и их произведения, а не только касательное и кокасательное расслоение.

Аналогично можно показать, что закон преобразования полилинейных функций общего вида также соответствует тензорному.

Классический пример тензорного поля, называемого обычно просто тензором, -метрический тензор в римановых многообразиях (пространствах) и применяемый также в общей теории относительности.

Тензоры широко применяются в различных разделах математики и физики. Многие уравнения в физике и математике, при использовании тензорной записи, становятся более короткими и удобными. Использование тензоров позволяет увидеть различные симметрии физических величин, уравнений и моделей, а также записать их в общековариантной форме (не зависящей от конкретной системы отсчета).

В математике тензоры являются предметом исследования тензорного исчисления, включающего тензорную алгебру и тензорный анализ. В дифференциальной топологи и геометрии, изучающей гладкие (в том числе римановы) многообразия, рассматриваются различные тензоры: касательный вектор, билинейная форма, метрический тензор, градиент скалярной функции, связность или ковариантная производная, тензор кручения, тензор кривизны Римана и его свертки — тензор Риччи и скалярная кривизна и т.д.

В физике термин тензор имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным физическим 3-мерным пространством или 4-мерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих пространств (хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остаётся). Например, линейные операторы квантовой механики, могут быть интерпретированы как тензоры над некими абстрактными пространствами (пространствами состояний), но традиционно такое применение термина тензор практически не используется, как и вообще крайне редко используется для описания линейных операторов над бесконечномерными пространствами. Тензоры в физике широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как общая теория относительности) или допускающих полную или значительную геометризацию (к таковым можно в значительной степени отнести практически все современные фундаментальные теории — электродинамика, релятивистская механика и т. д.), а также в теории анизотропных сред (которые могут быть анизотропны изначально, как кристаллы низкой симметрии, или вследствие своего движения или напряжений, как текущая жидкость или газ, или как деформированное твёрдое тело). Кроме того, тензоры широко используются в механике абсолютно твердого тела. Большинство тензоров в физике (не рассматривая скаляров и векторов) — второго ранга (с двумя индексами). Тензоры, имеющие большую валентность (такие, как тензор Римана в ОТО) встречаются, как правило, только в теориях, считающихся достаточно сложными, да и то нередко фигурируют в основном в виде своих свёрток меньшей валентности. Большинство тензоров в физике симметрично или антисимметрично.

Ниже представлена таблица применения тензоров в физике по направлениям.

В различного рода приложениях часто возникают тензоры с определённым свойством симметрии.

Симметричным по двум ко-(контра-)вариантным индексам называется тензор, который не изменяется от перестановки этих индексов:

При рассмотрении тензора как полилинейной функции это означает, что значение функции не меняется от перестановки этих двух аргументов местами.

Кососимметичным (косая симметрия) или антисимметричным по двум ко-(контра-)вариантным индексам называется тензор, который при перестановке этих индексов меняет знак :

При рассмотрении тензора как полилинейной функции это означает, что значение функции меняет знак от перестановки этих двух аргументов местами.

Эти определения естественным образом обобщаются на случай более чем двух индексов. Тензор симметричен по набору индексов, если при любой перестановке индексов из этого набора тензор не изменяется. Тензор антисимметричен по набору индексов, если он меняет знак при нечетной перестановке (получаемых нечетным числом перестановок двух индексов) и не меняется при четных перестановках по этому набору индексов.

Существуют и более сложные симметрии, например первое тождество Бьянки для тензора кривизны.

Тензоры одинаковой валентности являются элементами некоторого линейного пространства и допускают операции суммирования и умножения на скаляр, аналогичные операциям на произвольном линейном пространстве. При умножении на скаляр каждый компонент тензора умножается на него (аналогично умножению вектора на скаляр). При сложении тензоров - складываются компоненты этих тензоров (тоже аналогично векторам).

Между тензорами произвольной валентности определена операция тензорного произведения.

Правило подразумеваемого в записи Эйнштейна суммирования по так называемому немому индексу (когда в записи какой-то верхний и нижний индексы обозначены одной буквой) фактически определяет специфическую тензорную операцию, называемую свёрткой.

Свёртка тензора — операция, понижающая валентность тензора, вычисляется суммированием по паре индексов (верхнего и нижнего, если они различаются) и пробегающих, оставаясь равными друг другу, все свои значения, например:

Итоговый тензор обозначается обычно той же буквой, несмотря на то, что это уже тензор другого ранга (количества индексов) на 2 меньше ранга исходного тензора.

В случае тензора типа (1,1) свертка приводит в результате к одному числу, называемому следом тензора (по аналогии со следом След матрицы). След является инвариантной (не зависящей от базиса) величиной, скаляром (его иногда называют инвариантом тензора).

Операция свёртки применяется также и к двум или нескольким тензорам (в том числе между тензором и вектором), например:

Свёртка вектора с тензором ранга два есть действие линейного оператора, определяемого этим тензором, на вектор:

Свёртка (однократная) двух тензоров валентности два реализует композицию линейных операторов, определяемых этими тензорами:

В пространствах с метрическим тензором (евклидовые и псевдоевклидовые пространства, римановы и псевдоримановые многообразия) определены операции опускания и поднятия индексов посредством свертки с метрическим тензором (такие операции меняют характер валентности тензора, оставляя неизменным общий ранг тензора):

Разумеется, не обязательно симметризовать тензор по всем индексам, здесь это используется лишь для упрощения записи.

Понятие тензора формально можно обобщить на случай бесконечномерных линейных пространств. Обобщения тензоров на топологические пространства осуществляется путем введения топологического тензорного произведения.

Для корректного определения тензоров на таких пространствах необходимо выполнение свойства рефлексивности этого пространства, то есть оно должно быть канонически изоморфно своему второму сопряженному пространству (конечномерные пространства этим свойством обладают все). Тогда, например, определение в форме полилинейных функций имеет корректный смысл и приводит к тому, что векторы и линейные операторы на таких пространствах являются тензорами.

В частности тензоры определяются на гильбертовых пространствах и тогда линейные отображения в гильбертовых пространствах являются тензорами. Тем не менее, в приложениях (в физике), обычно термин "тензор" к таким объектам не применяется (например, операторы в квантовой физике, изображающие различные физические величины, являются по существу тензорами в гильбертовом пространстве, тем не менее таковыми их обычно не называют).