Спонтанное нарушение симметрии

Рисунок «Потенциал с двумя ямами». Иллюстрация механизма спонтанного нарушения симметрии. Система может самостоятельно перейти в любую из двух потенциальных ям.

Спонта́нное наруше́ние симме́три́и — способ нарушения симметрии физической системы, при котором исходное состояние и уравнения движения системы инвариантны относительно некоторых преобразований симметрии, но в процессе эволюции система переходит в состояние, для которого инвариантность относительно некоторых (в том числе всех) преобразований начальной симметрии нарушается. Спонтанное нарушение симметрии всегда связано с вырождением состояния с минимальной энергией, называемого вакуумом. Множество всех вакуумов имеет начальную симметрию, однако каждый вакуум в отдельности — нет. Например, шарик в жёлобе с двумя ямами скатывается из неустойчивого симметричного состояния в устойчивое состояние с минимальной энергией либо влево, либо вправо, разрушая при этом симметрию относительно изменения левого на правое (операция инверсии).

Спонтанное нарушение симметрии происходит (псевдо) случайным образом и обусловлено флуктуациями. Это явление чрезвычайно распространено в природе. Множество разнообразных примеров спонтанного нарушения симметрии можно привести в классической механике[⇨]. Однако если в механике спонтанное нарушение симметрии имеет скорее описательное значение, в квантовой теории поля это основной принцип, обеспечивающий генерацию масс калибровочных бозонов. Более того, в квантовой теории поля, построив эффективные лагранжианы, некоторые мезоны можно отождествить с соответствующими голдстоуновскими (псевдоголдстоуновскими) бозонами. Ниже в качестве примера π-мезон рассмотрен как голдстоуновский бозон при нарушении некоторой симметрии квантовой хромодинамики с безмассовыми кварками[⇨]. Вещество в определённой термодинамической фазе также можно рассматривать как квантовое поле с соответствующей симметрией. Тогда спонтанное нарушение симметрии представляется как фазовый переход[⇨].

Существование в природе четырёх фундаментальных взаимодействий тоже может являться следствием нарушения симметрии. Гипотетически при достаточно больших энергиях (~100 ГэВ) электромагнитные и слабые ядерные силы объединяются в одно электрослабое взаимодействие, а при ещё больших энергиях (~1014 ГэВ) электрослабое и сильное ядерное взаимодействия объединяются в электроядерное взаимодействие, описываемое теорией Великого объединения[⇨].

Механизм спонтанного нарушения симметрии жизненно необходим для возможности существования суперсимметрии. Ненарушенная суперсимметрия предсказывает существование у каждой известной частицы суперпартнёра с такой же массой, чего не наблюдается в экспериментах. Считается, что из-за нарушения суперсимметрии суперпартнёры частиц приобретают большие массы, недостижимые для современных ускорителей[⇨]

Вакуумы могут иметь довольно интересную структуру. Квантовая теория поля допускает существование полевых вакуумных конфигураций со спонтанно нарушенными вакуумами, которые меняются от точки к точке. Такими состояниями являются, например, магнитные монополи, космические струны, доменные стенки. Состояния такого типа наблюдаются в физике конденсированного состояния, например, стенки между ферромагнитными доменами. При сложных конфигурациях потенциала с многими минимумами существует несколько вакуумов. Однако настоящим вакуумом является только состояние с наименьшей энергией. Все остальные вакуумы являются метастабильными и переходят в настоящий путём квантового туннелирования[⇨].

Спонтанное нарушение симметрии может играть большую роль и в гравитации. Считается, что космологическая инфляция вызвана переходом из ложного вакуума в истинный при спонтанном нарушении симметрии Великого объединения[⇨]. Кроме того, спонтанное нарушение суперсимметрии (суперхиггсовский механизм) предполагается в теориях массивной гравитации[⇨]. Также развиваются модели гравитационного поля метрического тензора как Хиггс — Голдстоуновского поля некоторой нарушенной симметрии[⇨].

Таким образом, спонтанное нарушение симметрии — чрезвычайно распространённое явление во всех областях физики, начиная от классической механики и заканчивая квантовой гравитацией.

Уравнения, описывающие движение атомов любого несимметричного физического тела, например, кресла, инвариантны относительно трёхмерных поворотов, однако решение этих уравнений — реальное кресло — имеет определённую ориентацию в пространстве[3].

Карандаш, поставленный на торец на столе, не имеет никакого выделенного направления в плоскости стола, однако под действием возмущений он упадёт, выбрав при этом какое-то псевдослучайное (зависящее от флуктуаций) направление[4].

Круглый металлический стержень, зажатый между пластинами пресса, при достаточной нагрузке согнётся, причём направление сгиба произвольно и зависит от флуктуаций. Начальная осевая симметрия стержня спонтанно нарушается[5].

При кристаллизации жидкости, которая характеризуется наивысшей — изотропной — симметрией, образуется кристалл, в котором существуют некоторые выделенные направления относительно кристаллографических осей. Ориентация кристаллографических осей в общем случае случайна или обусловлена слабыми внешними факторами или флуктуациями. При этом симметрия относительно трансляций на произвольный вектор также снижается до трансляционной симметрии на вектор, который является линейной комбинацией векторов кристаллической решётки.

Жидкость при охлаждении ниже температуры кристаллизации превращается в кристалл. Однако жидкость без примесей может быть охлаждена ниже температуры кристаллизации. Такое положение достигается благодаря отсутствию центров кристаллизации — нет зародышей, на которых могли бы образовываться кристаллы, и возникает метастабильная фаза переохлаждённой жидкости. С точки зрения симметрии изотропная и трансляционная симметрия жидкости должна снизиться до симметрии кристаллической решётки, но в жидкости отсутствуют флуктуации (центры кристаллизации), которые нарушают данную симметрию.

Аналогичная ситуация возникает в пересыщенном паре или перегретой жидкости. Такие метастабильные состояния используются, например, в пузырьковых камерах и камерах Вильсона.

Ферромагнетики, нагретые выше температуры Кюри, находятся в парамагнитном состоянии, в котором не существует выделенного направления намагниченности; однако при охлаждении ниже температуры Кюри в ферромагнетике происходит фазовый переход и возникает спонтанная намагниченность, направление которой при отсутствии внешнего магнитного поля является случайным и зависит от флуктуаций[6]. Спонтанное нарушение симметрии происходит почти при всех фазовых переходах (см. ниже).

При прохождении квантовой частицы через экран с двумя близко расположенными щелями[7], за каждой из которых размещён детектор, срабатывает только один из детекторов. Симметрия случайно нарушается. Этот пример существенно отличается от упомянутых выше примеров тем, что, исходя из современных представлений (см. Теорема Белла[8]), наличие флуктуаций для спонтанного нарушения симметрии не является обязательным условием, и природа реализует прохождение частицы через одну из возможных щелей совершенно случайным образом.

Другим примером спонтанного нарушения симметрии в квантовой механике, но уже связанным с наличием флуктуаций, является декогеренция. Из-за наличия внешних флуктуаций чистое состояние системы переходит в смешанное с нарушением начальных симметрий. Математически это соответствует тому, что декогеренция вызывает зануление недиагональных элементов матрицы плотности[8].

В качестве примера рассмотрим атом в возбуждённом состоянии. Атом спонтанно излучает фотон и переходит на более низкий энергетический уровень. Если атом находится в сферически симметричном s-состоянии, то он излучает фотон в произвольном направлении и сам перейдёт в неизотропное l-состояние со спонтанно нарушенной симметрией относительно поворотов. Причиной нарушения симметрии является наличие окружающих частиц, а также случайные флуктуации физического вакуума.

Для иллюстрации декогеренции можно рассмотреть ансамбль одинаковых квантовых состояний. Системы из-за наличия внешних флуктуаций через некоторое время будут находиться в разных состояниях[8].

Именно уничтожение недиагональных элементов отвечает за спонтанное нарушение симметрии в первом примере данного раздела для кресла[3].

Рисунок «Линейная сигма-модель». Пример неинвариантного вакуума — линейная сигма-модель с группой симметрии SO(2).

В теории поля обычно рассматривают динамику поля в окрестности вакуумного состояния (минимума потенциальной энергии), считая сами поля малыми[9]. На практике это ведёт к разложению функции Лагранжа соответствующего поля в ряд Тейлора в окрестности минимума потенциальной энергии с последующим пренебрежением слагаемыми высших степеней. При этом выбор вакуума может быть неоднозначным (см. рисунок «Линейная сигма-модель»: серым цветом показаны возможные вакуумные состояния).

Соответствующим поворотом системы координат пространства зарядовых степеней свободы поля Клейна — Гордона вакуум всегда можно привести к виду

Легко видеть, что хотя лагранжиан (в частности, приближённый) инвариантен относительно калибровочных преобразований, вакуум — нет. Система переходит в случайно выбранное (на самом деле в зависимости от флуктуаций) состояние. В этом и заключается спонтанное нарушение глобальной калибровочной симметрии.

Пример 1. Нарушение симметрии относительно инверсии знака действительного поля Клейна — Гордона

Рассмотрим простой пример спонтанного нарушения симметрии для действительного поля Клейна — Гордона, которое задаётся лагранжианом

Калибровочные преобразования образуют группу Ли, причём компактную. Рассмотрим лагранжиан

Соответствующими преобразованиями системы координат всегда можно представить вакуум в виде

При этом безмассовые поля, которые возникают при спонтанном нарушении глобальной калибровочной симметрии, называются бозонами Голдстоуна. Ещё раз подчеркнём, что их количество равно количеству нарушенных симметрий.

из которого не видно явного выполнения теоремы Голдстоуна. Однако из условия калибровочной инвариантности минимума потенциала (не следует путать с вакуумом, речь идёт об инвариантности значения потенциала и его производных)

Рассмотренная выше теорема Голдстоуна[14][15] утверждает, что при нарушении калибровочной симметрии возникают безмассовые бесспиновые бозоны. Из-за отсутствия таких частиц в природе теорема Голдстоуна рассматривалась в качестве контраргумента против нарушенных симметрий. Однако, как оказалось, если нарушается локальная, а не глобальная калибровочная симметрия, то безмассовые голдстоуновские бозоны отсутствуют, а вместо этого калибровочные векторные поля получают массу[16][17]. Спонтанное нарушение локальной калибровочной симметрии — важное явление в теории поля, поскольку оно ведёт к приобретению калибровочными полями масс (напомним, что сами по себе массовые слагаемые для калибровочного поля не являются калибровочно инвариантными, поэтому в лагранжиане поля с ненарушенной симметрией они отсутствуют). Такой механизм носит название механизма генерации масс Хиггса.

Подстановка данных выражений в полученный лагранжиан даёт в квадратичном по полям приближении лагранжиан

Чаще всего образующий функционал и его производные вычисляют, проводя разложение в окрестности действия свободных невзаимодействующих полей (квадратичных по полям лагранжианов). Поправки к теории без взаимодействий удобно вычислять с помощью диаграмм Фейнмана.

Как и в квантовой механике по отношению к классической, операторная природа поля приводит к нетривиальным квантовым эффектам. Иногда квантовые поправки незначительны, однако в общем случае они могут иметь значительный (потенциально бесконечный) вклад. Для квантового поля часто имеют место квантовые аномалии — принципиальные нарушения некоторых симметрий, присущих классической теории, в соответствующей квантовой системе. Поэтому изложенная в предыдущем разделе физическая картина нарушения симметрии для классического поля не может быть непосредственно экстраполирована на квантовый случай, и нельзя априори утверждать, что теоремы Голдстоуна или Хиггса будут выполняться и в квантовом случае.

Так или иначе, выбор калибровки накладывает дополнительные условия на полевые переменные, которые нужно учитывать при квантовании. В теории поля такие условия учитываются в рамках метода Фаддеева — Попова[29]. Рассмотрим лагранжиан

Различные статистические системы можно представлять как некоторые квантованные поля. Так, система бозе-частиц (например, 4He) представляет собой комплексное скалярное поле, ферми-система (3He) представляется как спинорное поле. Однако чаще всего лагранжианы в квантовой статистической физике — эффективные и феноменологические, а соответствующие поля описывают определённые возбуждения в системе (теория Гинзбурга — Ландау[36], плазмоны, фононы, экситоны и т. д.).

Математический аппарат квантовой теории поля применяется к изучению статистических систем многих частиц. При этом в статистической физике термины квантовой теории поля имеют свои аналоги. Так, например, аналогом образующего функционала является статистическая сумма, которую представляют как функциональный интеграл

Понятно, что, как и в случае квантовой теории поля, при квантовании статистической системы возникают квантовые поправки, которые могут иметь какое угодно влияние на систему. Однако по аналогии с предыдущим разделом можно ввести эффективный потенциал, который удобно использовать для исследования системы. Если этого достаточно, то можно работать в приближении среднего поля, в рамках которого предполагается, что

Поля отклонения от вакуумного состояния отождествляют с термодинамическими флуктуациями. При спонтанном нарушении симметрии в статистической физике, кроме массивных скаляров, всегда возникают безмассовые моды флуктуаций, которые называют бозонами Голдстоуна (часто Намбу — Голдстоуна). Наличие безмассовых голдстоуновских мод ведёт к бесщелевому энергетическому спектру системы (теорема Гугенгольца — Пайнса[37]). Голдстоуновская мода также отвечает за коррелированные во всей системе флуктуации (так называемый недиагональный дальний порядок; например, в случае бозе-смеси — бозе-конденсат). Иногда в физике конденсированного состояния массивные моды колебаний необоснованно называют бозонами Хиггса.

Почти все фазовые переходы можно трактовать как спонтанное нарушение симметрии. Тем не менее существуют состояния вещества, которые нельзя представить как спонтанно нарушенные конфигурации поля. К таким состояниям относят спиновые жидкости, а также электронный газ в дробном квантовом эффекте Холла[38].

Ниже критической точки для голдстоуновских безмассовых мод корреляционная длина бесконечна (это означает на самом деле не экспоненциальное, а степенное поведение возбуждений), что соответствует коррелированности фазовых флуктуаций во всей системе (например, бозе-конденсат). Для массивной моды в сверхтекучем состоянии имеем температурную зависимость корреляционной длины в окрестности критической точки фазового перехода

Следует добавить, что квантовые поправки приводят к изменению масс бозонов и зависимости констант взаимодействия от энергии.

Несмотря на большое количество полей в группах высших порядков, механизм спонтанного нарушения симметрии в соответствующих теориях такой же, как и описано выше.

Спонтанное нарушение суперсимметрии (в отличие от мягкого и динамического) заключается в получении несуперсимметричной (явно) теории в окрестности вакуума с суперсимметрией. Нарушение суперсимметрии является необходимым процессом для избежания конфликта суперсимметричных моделей с экспериментом. Дело в том, что точная суперсимметрия предполагает, что суперпартнёры (количество которых совпадает с количеством обычных частиц) имеют такую же массу, как и их партнёры (обычные частицы), чего не наблюдается в эксперименте. Во время нарушения суперсимметрии суперпартнёры приобретают значительную дополнительную массу и, таким образом, становятся пока недостижимыми в экспериментах.

Как и для возбуждения калибровочной симметрии, можно показать, что квантовые поправки не нарушают суперсимметрии, если она не нарушена на классическом уровне[48]. Однако существенным отличием нарушения суперсимметрии от калибровочной симметрии является утверждение следующей теоремы:

Теорема[48]. В любой теории с суперсимметрией или нарушены все суперсимметрии, или не нарушена ни одна из них .

А это, в свою очередь, приводит к следующему утверждению: суперсимметричное вакуумное состояние должно иметь нулевую энергию; если же вакуумная энергия положительная — суперсимметрия нарушена. Действительно, для вакуумного среднего гамильтониана выполняется неравенство

Потенциалы с нарушенной симметрией: a) не нарушены ни калибровочная симметрия, ни суперсимметрия; b) калибровочная симметрия не нарушена, а суперсимметрия нарушена; c) калибровочная симметрия нарушена, а суперсимметрия не нарушена; d) нарушены и калибровочная симметрия, и суперсимметрия.

В этом заключается принципиальное отличие спонтанного нарушения суперсимметрии от калибровочной симметрии. Для последней важна инвариантность минимума потенциала, а для суперсимметрии — значение его минимума. Таким образом, нарушение калибровочной симметрии является в определённом смысле независимым от нарушения суперсимметрии. Если минимум нарушенного относительно калибровочной симметрии вакуума имеет нулевую энергию, то суперсимметрия не является нарушенной.

В обоих типах нарушения суперсимметрии существует спинор, который под действием суперсимметричных преобразований получает неоднородной член

По аналогии с механизмом Хиггса, где векторный бозон «съедает» голдстоуновский бозон и становится массивным, в супергравитации гравитино «съедает» голдстино (векторный супермультиплет «съедает» хиральный) и становится массивным. Такой механизм называется суперхиггсовским механизмом[50][51].

При рассмотрении нарушения симметрии квантового поля мы предполагали, что вакуумная конфигурация поля инвариантна относительно преобразований неоднородной группы Лоренца (повороты, бусты и трансляции). Это очень сильное неаргументированное ограничение на вакуумные конфигурации, которое ведёт к тому, что вакуум поля одинаков во всех точках пространства. Однако оказывается, что действительно возможны поля с нетривиальными координатно-зависимыми конфигурацииями вакуума. Более того, такие конфигурации могут быть важны при исчислении образующего функционала, поскольку их влияние не является малой величиной (например, инстантонный[53] вклад в квантовой хромодинамике). Такими нетривиальными вакуумами являются также магнитные монополи[54][55], космические струны[56] и доменные стенки[57], которые в принципе могут присутствовать во Вселенной и трактоваться как топологические дефекты пространства-времени с ненарушенной калибровочной электрослабой симметрией или симметрией Великого объединения. Такие неинвариантные вакуумные состояния реализуют экстремум функционала действия и устойчивы относительно возбуждений.

Такие конфигурации хорошо известны в физике конденсированного состояния. Например, доменные стенки между областями Вселенной с различными нарушениями симметрии являются аналогом доменных стенок в ферромагнетиках (откуда и происходит их название), а космические струны схожи с вихревыми линиями в сверхпроводнике.

Некоторые конфигурации с неинвариантным вакуумом, которые рассматриваются теоретиками, приведены ниже [источник не указан 765 дней] [источник не указан 765 дней]

Ниже приводится простая механическая модель, предложенная Унру. Рассмотрим совокупность карандашей, которые поставлены торцами на стол, а их острые концы соединены между собой резинками. Такая система находится в состоянии неустойчивого равновесия — любое возмущение приведёт к падению карандашей и переходу из нестабильного состояния в стабильное вакуумное состояние. Однако направление падения случайно. Картина равновесного состояния имеет много различных вариантов. Конечно, возможно падение карандашей в одном направлении. Однако может случиться и так, что вокруг некоторого карандаша все остальные карандаши упали в противоположных направлениях. Тогда на центральный карандаш со всех сторон изотропно действуют одинаковые силы натяжения резинок от карандашей, которые уже упали. Поскольку сила натяжения действует равномерно, прежде нестабильное вакуумное состояние в выбранной точке становится стабильным, и карандаш не падает. Возникает точка, которая отличается от остальных точек, в которых симметрия не является нарушенной.

Как и для механической модели, при нарушении калибровочной симметрии возможны устойчивые состояния с точечно ненарушенной симметрией. Такие решения называются монополями Полякова -т’Хофта[54][55].

Количество монополей, которые должны образоваться в результате нарушения симметрии Великого Объединения, составляет один монополь на 103 нуклонов, что противоречит наблюдаемым данным. Отсутствие монополей объясняется инфляцией. Считается, что они были образованы перед фазовым переходом поля с симметрией Великого объединения в симметрию Стандартной модели, а сопровождающая этот переход инфляция привела к разжижению газа монополей[59]. Более того, отсутствие магнитных монополей считается одним из аргументов в поддержку инфляционной теории эволюции Вселенной.

Существуют также точечные вакуумные полевые конфигурации — дионы, которые обладают как электрическим, так и магнитным зарядами[60].

Возможны также полевые конфигурации с локально ненарушенной калибровочной симметрией больших размерностей — это одномерные космические струны[56] и доменные стенки[57].

Для нелинейных полевых теорий (например, квантовой хромодинамики) возможны нетривиальные полевые конфигурации в (1 + 3)-пространстве, которые называют инстантонами[53]. Они являются обобщением солитона на (1 + 3)-мерное пространство. Такие конфигурации реализуют экстремум действия. Они непертурбативны (их невозможно получить ни в каком порядке теории возмущений).

Эффективные теории поля с лагранжианом типа линейной сигма-модели хорошо описывают низкоэнергетическое мезонное поведение. Однако для согласованности расчёта параметров взаимодействия мезонов при высоких энергиях необходимо дополнить лагранжиан слагаемыми с высшими степенями по полевым производным:

Наличие высших степеней производных может позволять стойкую нетривиальную вакуумную конфигурацию поля, которую называют скирмионами[65].

Скирмионы также могут возникать и в статистической физике[66], и при динамическом нарушении симметрии.

Операторы рождения и уничтожения во все последующие моменты времени получаем с помощью преобразований Боголюбова

Такая корпускулярная интерпретация неинвариантных вакуумов не является единственно возможной.

Впервые на возможность трактовки гравитона как голдстоуна[уточнить] указали Гайзенберг и Иваненко. Позже такая идея развивалась с разных точек зрения[68][69][70][71][72][73]. В данном разделе представлено краткое введение в проблему.

Согласно современным воззрениям, поля фундаментальных взаимодействий возникают из необходимости инвариантности функции Лагранжа поля материи относительно локальных калибровочных преобразований. Как было показано ранее, для включения взаимодействия между полем материи и калибровочным полем обычную производную от поля заменяют на ковариантную производную. Кроме того, калибровочное поле определённым образом изменяется под действием калибровочных преобразований. Калибровочные преобразования образуют компактную группу Ли.

С другой стороны, гравитационное поле следует рассматривать как калибровочное поле с определённой группой симметрии. Однако оказывается, что для гравитационного поля существуют две калибровочные симметрии. Первая задаётся общими ковариантными преобразованиями тензорных величин

В то же время аналогичного выражения для метрического тензора (тетрадного поля) нет, и его калибровочный статус остаётся неясным.

Такая идея в большой степени развивалась Иваненко и Сарданашвили[72][74]. В данном параграфе изложим её основную суть.

Динамика распада выглядит следующим образом. В определённой точке пространства образуется истинный вакуум, что приводит к образованию такого же истинного вакуума во всех соседних точках — пузырь начинает расти со скоростью света, пока не встретит фронт расширения другого пузыря. Плотность энергии сосредоточена в основном на границе пузырей, а внутри они пустые.

Схематическое изображение фальшивого SU(5) вакуума и истинного SU(3) х SU(2) x U(1) вакуума перед началом инфляции.

Ниже приведён список лауреатов Нобелевской премии, исследования которых имеют отношение к спонтанному нарушению симметрии или же непосредственно его касаются (2008, 2013).