Специальные функции

Специальные функции — встречающиеся в различных приложениях математики (чаще всего — в различных задачах математической физики) функции, которые не выражаются через элементарные функции. Специальные функции представляются в виде рядов или интегралов.

Это разделение не является строгим, поскольку, например, большинство неэлементарных решений дифференциальных уравнений удалось выразить через неберущийся интеграл или в виде ряда. Поэтому не существует строгой классификации трансцендентных функций

К таким специальным функциям относятся: бета-функция, гамма-функция, интегральный логарифм, интегральная экспонента, интеграл вероятности, интегральный синус, интегральный косинус, эллиптические функции, интегралы Френеля.

К таким функциям относятся гипергеометрическая функция, дзета-функция, полилогарифм.

К таким специальным функциям относятся: сферические функции, цилиндрические функции, функции Эйри, функции параболического цилиндра, функции Матьё, функции Бесселя.

Существует много функций с необычным поведением, придуманных для различных целей. Это функция Дирихле, функция Хевисайда.

Эти функции обычно связаны с простейшими свойствами чисел. Сюда прежде всего можно отнести специальные арифметические функции, знак числа, факториал.