Система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от , проверенной 1 октября 2021; проверки требует .

Система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя (NBG, аксиоматика Гёделя — Бернайса) в метаматематике — одна из основных аксиоматических теорий множеств. Эта система является расширением канонической теории Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC). Предложения, сформулированные на языке теории ZFC, доказуемы в ZFC тогда и только тогда, когда они доказуемы в NBG.

Теория NBG дополнительно включает понятие собственного класса — объекта, имеющего элементы, но который сам не может быть элементом каких-либо объектов. NBG включает только такие определения понятий, которые не ссылаются на определяемое понятие; значения связанных переменных в формулах могут быть только множествами. Исключение этого принципа (отсутствие ссылок на определяемое понятие внутри определений) превращает систему NBG в систему Морза — Келли[en] (MK). NBG в отличие от ZFC и MK может быть конечно аксиоматизирована (конечным числом аксиом).

Первый вариант NBG включал функции, а не множества, как базовые понятия (фон Нейман, 1920-е годы). В серии статей, опубликованных в 1937—1954 годах, Пол Бернайс изменил теорию фон Неймана, сделав множества и отношение принадлежности базовыми понятиями; он также обнаружил, что эту теорию можно аксиоматизировать конечным числом аксиом. Гёдель (1940) во время исследования независимости континуум-гипотезы упростил и использовал теорию. Монтегю показал, что ZFC не может быть конечно аксиоматизировано.

Сначала мы построим систему аксиом NBG с использованием схемы аксиом порождения классов (схема соответствует бесконечному набору аксиом). Эта схема эквивалентна 9 аксиомам[2]. Таким образом, эти 9 аксиом могут заменить схему порождения классов. Таким образом, NBG конечно аксиоматизируема.

Следующие аксиомы описывают прежде всего свойства классов (и поэтому включают заглавные буквы). Первые две из них отличаются от аналогичных в ZFC только тем, что в них строчные буквы заменены заглавными.

Привлекательная и несколько загадочная особенность NBG состоит в том, что схему порождения подклассов можно заменить на несколько аксиом, описывающих частные случаи. Нижеприведенные аксиомы могут полностью заменить схему порождения подклассов. Способ аксиоматизации, приведенной ниже, не обязательно совпадает с той, что можно найти в печатных источниках[5].

Мы опишем нашу аксиоматизацию путём описания структуры формул. Во-первых, нам необходимо иметь первоначальный запас классов.

Таким образом мы получили квантор существования; квантор всеобщности можно будет получить через квантор существования и отрицание. Приведенные выше аксиомы позволяют нам передвинуть аргумент в начало списка аргументов, чтобы применить к нему квантор.

Наконец, каждая простая формула подразумевает существование следующих отношений на классах:

Диагональный класс вместе с возможностью перестановки аргументов и добавления фиктивных аргументов позволяет подставлять одинаковые аргументы в отношения.

B6 и B7 позволяют сделать то, что в нашем случае делалось с помощью аксиом перестановок и ассоциативности. Для каждого класса, содержащего тройки существует другой класс, содержащий те же тройки, в которых одинаковым способом переставлены элементы.

Ознакомиться с философскими и онтологическими вопросами, вызванными NBG, особенно в связи с различиями с ZFC и MK можно в приложении C книги Potter (2004).

Несмотря на то, что NBG является расширением ZFC, некоторые теоремы могут более просто элегантно доказываться в NBG, чем в ZFC (или наоборот). Для обзора известных результатов в этой области см. Pudlak (1998).

Система понятий NBG позволяет говорить о больших объектах без риска наткнуться на парадокс. В частности во многих трактовках теории категорий под большой категорией подразумевается категория, где набор объектов является собственным классом, как и набор морфизмов. Малые категории, с другой стороны, — это категории, где наборы объектов и морфизмов являются множествами. Поэтому мы можем без риска парадоксов говорить о категории всех множеств или категории всех малых категорий. Эти категории, разумеется, большие. Но нельзя говорить о категории всех категорий, так как она должна была бы включать категорию всех малых категорий. Однако существуют другие расширения систем понятий, которые позволяют говорить о наборе всех категорий как категории (см. о квазикатегории всех категорий в Adámek et al. (1990)).

Системы понятий, включающей классы и множества, достаточно для обоснования теории категорий (Muller, 2001).