Распределение Максвелла

Функция плотности распределения для 106 молекул кислорода при −100, 20, 600 градусах Цельсия

Распределе́ние Ма́ксвелла — общее наименование нескольких распределений вероятности, которые описывают статистическое поведение параметров частиц идеального газа. Вид соответствующей функции плотности вероятности диктуется тем, какая величина: скорость частицы, проекция скорости, модуль скорости, энергия, импульс и т. д. — выступает в качестве непрерывной случайной величины. В ряде случаев распределение Максвелла может быть выражено как дискретное распределение по множеству уровней энергии.

Распределение Максвелла лежит в основе кинетической теории газов, объясняющей многие фундаментальные свойства газов, включая давление и диффузию. С его помощью вычисляются средние и наиболее вероятные скорости и энергии молекул газа. Оно также применимо для описания электронных процессов переноса и других явлений в физике и химии. Распределение Максвелла может быть получено при помощи статистической механики (см. происхождение статсуммы). Данное распределение является реализующимся с наивысшей вероятностью распределением изучаемого параметра.

Вопрос о применимости распределения Максвелла к конкретной системе равносилен вопросу о том, может ли эта система считаться идеальным газом с достаточной точностью. При этом система должна

Такой набор требований удовлетворяется в первую очередь в газах, например в воздухе, при обычных условиях. Распределение Максвелла применимо к множеству свойств индивидуальных молекул в газе. В первую очередь о нём обычно думают, как о распределении энергий молекул в газе, но оно может применяться к распределению скоростей и других параметров молекул. Чаще всего оно является непрерывным распределением по континууму изменения случайного параметра.

Во многих случаях, однако, условие доминирования упругих соударений над всеми другими процессами не выполняется даже приблизительно. Так, в физике ионосферы и космической плазмы, большое значение имеют процессы рекомбинации и столкновительного возбуждения (то есть излучательные процессы), в особенности для электронов. Использование распределения Максвелла в этом случае не только дало бы количественно неверные результаты, но и привело бы к качественно неправильной интерпретации соответствующих процессов.

В случаях, где квантовая дебройлева длина волны частиц газа не является малой по сравнению с расстоянием между частицами, наблюдаются отклонения от распределения Максвелла из-за квантовых эффектов. Поэтому важен вопрос о границах применимости классического рассмотрения.

Представленный в этом разделе вывод распределений Максвелла, естественный для современной учебно-методической литературы, сильно отличается от вывода, предложенного самим Джеймсом Клерком Максвеллом и позже описанного с меньшим количеством предположений Людвигом Больцманом. Исторический вывод будет приведён в конце статьи.

В случае идеального газа из невзаимодействующих молекул вся энергия находится в форме кинетической энергии. Кинетическая энергия соотносится с импульсом частицы как:

Таким образом, чтобы интеграл в уравнении (4) имел значение 1 необходимо, чтобы

Интегрируя, мы можем найти распределение по абсолютной величине импульса:

Это распределение имеет форму нормального распределения. Как и следует ожидать для покоящегося газа, средняя скорость в любом направлении равна нулю.

таким образом, функция плотности вероятности для модуля скорости равна:

Уравнение (11) дает распределение скоростей, или, другими словами, долю молекул, имеющих специфическую скорость. Но часто более интересны другие величины. Ниже будут определены наиболее вероятная, средняя и среднеквадратичная скорости.

Получим теперь формулу распределения так, как это делал сам Максвелл[1][2].

Теперь нужно сделать принципиальный шаг — ввести температуру. Кинетическое определение температуры (как меры средней кинетической энергии движения молекул):