Производная функции

Данная статья описывает производные вещественных функций. О производной комплексных функций см. Комплексный анализ

Произво́дная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятие предела, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления. Исторически производная вводилась кинематически (как скорость) или геометрически (определяясь по сути наклоном касательной, в разных конкретных формулировках). Ньютон называл производную флюксией, обозначая точкой над символом функции, школа Лейбница предпочитала в качестве базового понятия дифференциал[1].

Русский термин в форме «производная функция» впервые употребил В. И. Висковатов, переведя на русский язык соответствующий французский термин dérivée, используемый французским математиком Лагранжем[2].

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике и физике, исторически часто тоже).

Анимация, дающая первоначальное интуитивное представление о производной, как о «размахе» изменения функции при изменении аргумента (нажмите для воспроизведения).

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,

В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:

Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.

Конечно, при этом необходимо не забывать, что служат все они для обозначения одних и тех же объектов:

Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):