Произведение Хатри — Рао

Произведение Хатри — Рао — операция умножения матриц, определяемая выражением[1][2]:

Столбцовая версия произведения Хатри — Рао используется в линейной алгебре для аналитической обработки данных[3] и оптимизации решений проблемы обращения диагональных матриц[4][5]; в 1996 году его было предложено использовать в описании задачи совместного оценивания угла прихода и времени задержки сигналов в цифровой антенной решётке[6], а также для описания отклика 4-координатного радара[7].

Существует альтернативная концепция произведения матриц, которая в отличие от столбцовой версии использует разбиение матриц на строки[8] — торцевое произведение (англ. face-splitting product)[7][9] или транспонированное произведение Хатри — Рао (англ. transposed Khatri — Rao product)[10]. Этот тип матричного умножения базируется на построчном произведении Кронекера двух и более матриц с одинаковым количеством строк. Например, для:

Для блочных матриц с одинаковым количеством столбцов в соответствующих блоках:

Семейство торцевых произведений матриц используется в тензорно-матричной теории цифровых антенных решёток для радиотехнических систем[10].

Торцевое произведение получило широкое распространение в системах машинного обучения, статистической обработке больших данных[15]. Оно позволяет сократить объёмы вычислений при реализации метода уменьшения размерности данных, получившего наименование тензорный скетч[15], а также быстрого преобразования Джонсона — Линденштрауса[15]. При этом осуществляется переход от исходной проецирующей матрицы к произведению Адамара, оперирующему матрицами меньшей размерности. Погрешность аппроксимации данных большой размерности на основе торцевого произведения матриц соответствует лемме о малом искажении[15][19]. В указанном контексте идея торцевого произведения[⇨] может быть использована для решения задачи дифференциальной приватности (англ. differential privacy)[14]. Кроме того, аналогичные вычисления были применены для формирования тензоров совместной встречаемости в задачах обработки естественного языка и построения гиперграфов подобия изображений[20].

Торцевое произведение применяется для P-сплайн аппроксимации[17], построения обобщённых линейных моделей массивов данных (GLAM) при их статистической обработке[18] и может быть использовано для эффективной реализации ядерного метода машинного обучения, а также изучения взаимодействия генотипов с окружающей средой.[21]