Произведение Кронекера

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от , проверенной 1 августа 2020; проверки требуют .

Произведение Кронекера не следует путать с обычным умножением матриц. Операция названа в честь немецкого математика Леопольда Кронекера.

Если A — матрица размера m×n, B — матрица размера p×q, тогда произведение Кронекера есть блочная матрица размера mp×nq

Если A и B представляют собой линейные преобразования V1W1 и V2W2, соответственно, то AB представляет собой тензорное произведение двух отображений, V1V2W1W2.

Операции транспонирования и эрмитова сопряжения можно переставлять с произведением Кронекера:

Произведение Кронекера названо в честь Леопольда Кронекера, несмотря даже на то, что существует мало свидетельств о том, что он был первым, кто определил и использовал эту операцию. В прошлом произведение Кронекера иногда называли матрицей Зефусса.

В случае блочных матриц могут использоваться матричные операции, связанные c произведением Кронекера и отличающиеся порядком соответствующего перемножения блоков. Таковыми являются произведения Трейси – Сингха (англ. Tracy–Singh product) и произведение Хатри — Рао.

Указанная операция перемножения блочных матриц заключается в том, что каждый блок левой матрицы умножается последовательно на блоки правой матрицы. При этом формируемая структура результирующей матрицы отличается от характерной для произведения Кронекера. Произведение Трейси – Сингха определяется как[1][2]

Данный вариант умножения определён для матриц с одинаковой блочной структурой. Он предусматривает, что операция кронекеровского произведения выполняется поблочно, в пределах одноимённых матричных блоков по аналогии с поэлементным произведением Адамара, только при этом в качестве элементов фигурируют блоки матриц, а для умножения блоков используется кронекеровское произведение.