Проективная геометрия

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от , проверенной 23 марта 2021; проверки требуют .

Проективная геометрия — раздел геометрии, изучающий проективные плоскости и пространства. Главная особенность проективной геометрии состоит в принципе двойственности, который прибавляет изящную симметрию во многие конструкции.

Проективная геометрия может изучаться как с чисто геометрической точки зрения, так с аналитической (с помощью однородных координат) и с алгебраической, рассматривая проективную плоскость как структуру над полемПерейти к разделу «#Структура над полем». Часто, и исторически, вещественная проективная плоскость рассматривается как Евклидова плоскость с добавлением «прямой в бесконечности».

Тогда как свойства фигур, с которыми имеет дело Евклидова геометрия, являются метрическими (конкретные величины углов, отрезков, площадей), а эквивалентность фигур равнозначна их конгруэнтности (то есть когда фигуры могут быть переведены одна в другую посредством движения с сохранением метрических свойств), существуют более «глубоко лежащие» свойства геометрических фигур, которые сохраняются преобразованиями более общего типа, чем движение. Проективная геометрия занимается изучением свойств фигур, инвариантных при классе проективных преобразований, а также самих этих преобразований.

Проективная геометрия дополняет Евклидову, предоставляя красивые и простые решения для многих задач, осложнённых присутствием параллельных прямых. Особенно проста и изящна проективная теория конических сечений.

Хотя некоторые результаты, которые теперь причислены к проективной геометрии, восходят к работе таких древнегреческих геометров, как Папп Александрийский, проективная геометрия как таковая родилась в XVII веке из прямой перспективы в живописи и архитектурном черчении. Идея бесконечно далёких точек, в которых пересекаются параллельные прямые, появилась независимо у французского архитектора Жерара Дезарга и у немецкого астронома Иоганна Кеплера. Дезарг даже предложил, что может существовать прямая, состоящая исключительно из бесконечно удалённых точек.

В XIX веке интерес к этой области возродился благодаря трудам Жана-Виктора Понселе и Мишеля Шаля. Понселе вывел проективное пространство из Евклидова, добавив прямую в бесконечности, на которой пересекаются все плоскости, параллельные данной, и доказал принцип дуальности. Шаль продолжил и значительно углубил труды Понселе. Позже фон Штаудт создал чисто синтетическую аксиоматизацию, объединяющую эти прямые с остальными.

В конце XIX века Феликс Клейн предложил использовать для проективной геометрии однородные координаты, которые ранее ввели Мёбиус, Плюккер и Фейербах.

Основные, оставленные без определения в стандартной аксиоматизации, понятия проективной геометрии — это точка и прямая. Совокупность точек на прямой называется рядом, а совокупность прямых, проходящих через точку — пучком. Совокупность точек на прямых в пучке A, пересекающихся с прямой BC, определяет плоскость ABC. Принцип двойственности гласит, что любая конструкция проективной геометрии в n-мерном пространстве остаётся верной, если во всех случаях заменить (k)-мерные конструкции на (n-k-1)-мерные. Так, любая конструкция в проективной плоскости остаётся верной, если заменить точки на прямые и прямые на точки.

Преобразование ряда прямой X в пучок точки x, не находящейся в этом ряду, или обратно, идентифицирует каждую точку в ряду с пересекающей её прямой из пучка и пишется Xx. Последовательность из нескольких таких преобразований (из ряда в пучок, потом обратно в ряд, и так далее) называется проективностью. Перспективность — это последовательность из двух проективностей (пишется XX′). Перспективность двух прямых проходит сквозь центр O, а перспективность двух точек — сквозь ось o. Точка инвариантна по отношению к проективности, если проективность преобразует её в ту же точку.

Треугольник — это три точки, соединённые попарно прямыми. Полный четырёхугольник — это четыре точки (вершины) в одной плоскости, из которых никакие три не коллинеарны, соединённые попарно прямыми. Пересечение двух из этих прямых, не являющееся вершиной, называется диагональной точкой. Полный четырёхгранник определяется аналогично, но с точками вместо прямых и прямыми вместо точек. Аналогично можно определить полный n-угольник и полный n-гранник.

Два треугольника перспективны, если они могут быть соединены с помощью перспективности, то есть их грани пересекаются на коллинеарных точках (перспективность сквозь прямую) или их вершины соединены конкурентными прямыми (перспективность сквозь точку).

Есть три главных подхода к проективной геометрии: независимая аксиоматизация, дополнение Евклидовой геометрии, и структура над полем.

Проективное пространство можно определить с помощью разного набора аксиом. Коксетер предоставляет следующие:

Проективная плоскость (без третьего измерения) определяется несколько другими аксиомами:

При наличии третьего измерения, теорема Дезарга может быть доказана без введения идеальных точки и прямой.

Исторически, проективное пространство было впервые определено, как дополнение евклидова пространства идеальным элементом — бесконечно удалённой плоскостью. Каждая точка на этой плоскости соответствует направлению в пространстве и является местом пересечения всех прямых этого направления.