Оператор импульса

Оператор импульса — квантово-механический оператор, использующийся для описания импульса.

Операторы энергии и импульса могут быть построены следующим способом[1].

Решение одномерного уравнения Шрёдингера в виде плоской волны имеет вид:

Величины, которые измеряются в эксперименте, — это собственные значения данного оператора.

Так как частная производная — это линейный оператор, оператор импульса также линеен. Поскольку каждая волновая функция может быть выражена как квантовая суперпозиция состояний, когда этот оператор импульса действует на всю суперпозицию волн, он даёт собственные значения для каждой плоской волны, сумма которых представляет собой результирующий импульс суперпозиции волн.

Уравнение в трёх измерениях записывается аналогично, за исключением оператора градиента, включающим в себя частные производные по координатам. В трёхмерном случае решение уравнения Шрёдингера в виде плоских волн будет следующим:

Это оператор импульса в координатном представлении — частные производные в нём берутся по отношению к пространственным переменным.

Трансляционный оператор обозначается как T(ϵ), где ϵ представляет собой величину трансляции и удовлетворяет следующему соотношению:

Считая ψ аналитической функцией (то есть дифференцируемой в некоторой области комплексной плоскости), её можно разложить в ряд Тейлора по x:

Как известно из классической механики, импульс — это генератор трансляций, так что соотношение между операторами трансляции и импульса будет иметь вид:

где ∂μ — это 4-градиент, а становится + перед трёхмерным оператором импульса. Этот оператор появляется в релятивистской квантовой теории поля, так же как и уравнение Дирака и другие релятивистские волновые уравнения. Энергия и импульс комбинируются в 4-вектор импульса и соответствуют частным производным первого порядка по времени и координате для соответствия лоренцовской инвариантности.

Используя координатное или импульсное представление, можно показать, что:

Можно показать, что преобразование Фурье импульса — это оператор координаты. Используя запись в виде бра и кет векторов:

То же применимо и для оператора координаты в импульсном представлении: