Механическое напряжение

В механике сплошной среды механическое напряжение — это физическая величина, которая выражает внутренние силы, которые соседние частицы в непрерывной среде оказывают друг на друга, а деформация — это мера изменения геометрических размеров среды. Например, когда сплошная вертикальная штанга поддерживает груз, каждая частица в штанге давит на частицы, находящиеся непосредственно под ней. Когда жидкость находится в закрытом контейнере под давлением, каждая частица сталкивается со всеми окружающими частицами. Стенки контейнера и поверхность, создающая давление (например, поршень), прижимаются к ним в (по третьему закону Ньютона) соответствии с силой реакции. Эти макроскопические силы на самом деле являются чистым результатом очень большого количества межмолекулярных сил и столкновений между частицами в этих средах. Механическое напряжение или в дальнейшем напряжение часто обозначается строчной греческой буквой сигма σ.

Деформация, то есть взаимное смещение внутренних частей материала, может возникать из-за различных механизмов, таких как напряжение, при приложении внешних сил к массивному материалу (например, гравитация) или к его поверхности (например, контактные силы, внешнее давление или трение). Любая деформация твердого материала создает внутреннее упругое напряжение, аналогичное силе реакции пружины, которое стремится вернуть материал в его исходное недеформированное состояние, наблюдавшееся до приложения внешних сил. В жидкостях и газах только деформации, которые изменяют объём, создают постоянное упругое напряжение. Однако, если деформация постепенно изменяется со временем, даже в жидкостях обычно возникает некоторое вязкое напряжение, препятствующее этому изменению. Упругие и вязкие напряжения обычно объединяют под названием механическое напряжение.

Значительное напряжение может существовать, даже если деформация незначительна или отсутствует вовсе (обычное допущение при моделировании потока воды). Напряжение может существовать при отсутствии внешних сил; такое встроенное напряжение встречается, например, в предварительно напряженном бетоне и закаленном стекле. Напряжение может наблюдаться в материале без приложения общих сил, например, из-за изменений температуры или химического состава или внешних электромагнитных полей (как в пьезоэлектрических и магнитострикционных материалах).

Полный тензор механического напряжения элементарного объёма тела. Буквой σ обозначены нормальные механические напряжения, а касательные буквой τ.

Связь между механическим напряжением, деформацией и скоростью изменения деформации может быть довольно сложной, хотя линейное приближение часто оказывается адекватным на практике, если их величины достаточно малы. Напряжение, превышающее определённые пределы прочности материала, приведет к необратимой деформации (например, пластическому течению, разрушению, кавитации) или даже к изменению его кристаллической структуры и химического состава.

В некоторых отраслях техники термин «напряжение» иногда используется в более широком смысле как синоним «внутренней силы». Например, при анализе ферм это может относиться к общей силе растяжения или сжатия, действующей на балку, а не к силе, деленной на площадь её поперечного сечения.

С древних времен люди осознавали наличие напряжений внутри материалов. До 17 века понимание напряжений было в основном интуитивным или эмпирическим; и, тем не менее, это приводило к возникновению сложных технологий, таких как композитный лук и стеклодувной технологии.[1]

В течение нескольких тысячелетий архитекторы и строители, в частности, научились соединять деревянные балки с тщательно подобранными формами и каменные блоки, чтобы выдерживать, передавать и распределять нагрузку наиболее эффективным способом с помощью таких оригинальных устройств, как капители, арки, купола, фермы и аркбутаны готических соборов.

Древние и средневековые архитекторы разработали некоторые геометрические методы и простые формулы для вычисления необходимых размеров столбов и балок, но научное понимание напряженного состояния простых тел стало возможным только после того, как в 17 и 18 веках были изобретены необходимые научные принципы: понятие строгого экспериментального метода Галилео Галилея, координат и аналитической геометрии Рене Декарта, а также законов движения и равновесия Ньютона и основы исчисления бесконечно малых величин. С помощью этих инструментов Огюстен Луи Коши смог создать первую строгую и общую математическую модель упругого напряжения в однородной среде. Коши заметил, что сила, действующая на воображаемую поверхность, была линейной функцией её вектора нормали. 

Понимание напряжения в жидкостях началось с Ньютона, который вывел дифференциальную формулу для сил трения (напряжения сдвига) в параллельном ламинарном потоке.

Напряжение определяется как сила, действующая через «маленькую» границу на площадь этой границы для всех ориентаций границы. Будучи величиной производной от фундаментальной физической величины (силы) и чисто геометрической величины (площади), напряжение также является фундаментальной величиной, такой как скорость, крутящий момент или энергия, которые можно количественно оценить и проанализировать без явного учёта как природы материала так и его физические причины.

Следуя основным положениям механики сплошных сред, напряжение — это макроскопическое понятие. А именно, составляющие тело частицы, рассматриваемые в его определении и анализе, должны быть достаточно малыми, чтобы их можно было рассматривать как однородные по составу и состоянию, но все же достаточно большими, чтобы игнорировать квантовые эффекты и детальное движение молекул среды. Таким образом, сила между двумя частицами на самом деле является средним значением очень большого числа атомных сил между их молекулами; и предполагается, что физические величины, такие как масса, скорость и силы, которые действуют через объём трехмерных тел, например гравитация, плавно распределены по ним. В зависимости от контекста, можно также предположить, что частицы достаточно велики, чтобы позволить усреднение других микроскопических структурных характеристик, таких как зерна металлического стержня или волокна куска дерева.

Напряжение на поверхности (желтый диск) — это сила, которую материал с одной стороны (верхний шар) оказывает на материал с другой стороны (нижний шар), деленная на площадь этой поверхности.

Количественно напряжение выражается вектором напряжения Коши Т, определяемым как сила F между соседними частями материала через воображаемую разделяющую поверхность S, деленную на площадь S при стремлении этой поверхности к нулю В жидкости сила перпендикулярна поверхности и представляет собой знакомое давление. В твердом теле или в потоке вязкой жидкости сила F может быть не перпендикулярна поверхности S; следовательно, напряжение на поверхности следует рассматривать как векторную величину, а не как скаляр. Более того, направление и величина обычно зависят от ориентации поверхности S. Таким образом, напряженное состояние материала должно описываться тензором (второго ранга), называемым тензором напряжений (Коши); который является линейной функцией, связывающей вектор нормали n к поверхности S с напряжением T. По отношению к любой выбранной системе координат тензор напряжений Коши может быть представлен в виде симметричной матрицы вещественных чисел 3 × 3. Даже внутри однородного тела тензор напряжений может меняться в зависимости от координат и времени; следовательно, напряжение в материале, как правило, является изменяющимся во времени тензорным полем.

В общем, напряжение T, которое частица P прикладывает к другой частице Q по соприкасающейся поверхности S, может иметь любое направление относительно S. Вектор T можно рассматривать как сумму двух компонент: нормального напряжения (сжатия или растяжения), перпендикулярного поверхности, и напряжения сдвига, параллельного поверхности.

Если единичный вектор нормали n поверхности (направленный от Q к P) предполагается фиксированным, то нормальный компонент можно выразить одним числом, скалярным произведением T · n. Это число будет положительным, если P «растягивает» Q (растягивающее напряжение), и отрицательным, если P «толкает» Q (сжимающее напряжение). Компонент сдвига тогда представляет собой вектор T − (T · n)n.

Размерность напряжения — это давление, и поэтому его величину обычно измеряют в тех же единицах, что и давление: а именно, паскалях (Па, то есть ньютонах на квадратный метр) в Международной системе, или фунтах на квадратный дюйм (psi) в имперской системе. Поскольку механические напряжения в твёрдых легко превышают миллион паскалей, то МПа (мегапаскаль) — обычная единица измерения напряжения.

Напряжение в упругом теле может быть вызвано множеством физических причин, включая внешние воздействия и внутренние физические процессы. Некоторые из этих агентов (например, сила тяжести, изменения температуры и термодинамической фазы, а также электромагнитные поля) действуют на основную массу материала, непрерывно меняясь в зависимости от координат и времени. Другие агенты (например, внешние нагрузки и трение, давление окружающей среды и контактные силы) могут создавать напряжения и силы, которые сосредоточены на определённых поверхностях, линиях или точках; и, возможно, также на очень коротких временных интервалах (например, в импульсах из-за столкновений и ударов). В активном веществе самодвижущиеся микроскопические частицы порождают макроскопические профили напряжения[2]. В общем случае, распределение напряжений в теле выражается в виде кусочно- непрерывной функция координат и времени.

Напротив, напряжение обычно коррелирует с различными воздействиями на материал, возможно, включащие изменения физических свойств, таких как двулучепреломление, поляризация и проницаемость. Приложение напряжения из-за внешнего фактора обычно создает некоторую деформацию (деформацию) в материале, даже если она слишком мала для обнаружения. В твердом материале такая деформация, в свою очередь, вызовет внутреннее упругое напряжение, аналогичное силе реакции растянутой пружины, стремящейся восстановить исходное недеформированное состояние материала. Жидкие материалы (жидкости, газы и плазма) по определению могут только противодействовать деформациям, которые могут изменить их объём. Однако, если деформация изменяется со временем, даже в жидкостях обычно возникает некоторое вязкое напряжение, препятствующее этому изменению. Такие напряжения могут быть как сдвиговыми, так и нормальными. Молекулярная природа сдвиговых напряжений в жидкостях изложена в статье о вязкости. То же самое для нормальных вязких напряжений можно найти в Sharma (2019).[3]

Связь между напряжением и его последствиями и причинами, включая деформацию и скорость изменения деформации, может быть довольно сложной (хотя на практике используют линейное приближение, если величины достаточно малы). Напряжение, превышающее определённые пределы прочности материала, приведет к необратимой деформации (например, пластическому течению, разрушению, кавитации) или даже к изменению его кристаллической структуры и химического состава .

В некоторых ситуациях напряжение внутри тела можно адекватно описать одним вектором. Три таких ситуации простых напряжений, которые часто встречаются при проектировании инженерных конструкций, — это одноосное нормальное напряжение, простое напряжение сдвига и изотропное нормальное напряжение.

Помимо осевого растяжения и сжатия нормальное напряжение возникает во многих других ситуациях. Если упругий стержень с однородным и симметричным поперечным сечением изгибается в одной из плоскостей симметрии, результирующее напряжение изгиба все равно будет нормальным (перпендикулярным поперечному сечению), но будет изменяться по поперечному сечению: внешняя часть будет находиться под растягивающим напряжением, а внутренняя часть будет сжата. Другой вариант нормального напряжения — это кольцевое напряжение, возникающее на стенках цилиндрической трубы или сосуда, заполненного жидкостью под давлением.

Напряжение сдвига в горизонтальном стержне, нагруженном двумя смещенными блоками.

Как и в случае стержня с осевой нагрузкой, на практике напряжение сдвига не может быть равномерно распределенным по слою; поэтому, как и раньше, отношение F / A будет будет иметь смысл среднего («номинального», «инженерного») напряжения. Однако для практических целей этого среднего значения часто бывает достаточно. Напряжение сдвига наблюдается также, когда цилиндрический стержень, такой как вал, подвергается воздействию противоположных моментов на его концах. В этом случае напряжение сдвига в каждом поперечном сечении параллельно поперечному сечению, но ориентировано тангенциально относительно оси и увеличивается с увеличением расстояния от оси. Под действием изгибающих нагрузок в средней плоскости («стенке») двутавровых балок возникает значительное напряжение сдвига из-за того, что стенка ограничивает концевые пластины («полки»).

Другой простой тип напряжения возникает, когда материальное тело испытывает одинаковое сжатие или растяжение во всех направлениях. Это происходит, например, в части покоящейся жидкости или газе, заключенной в какой-либо контейнер или как часть большей массы жидкости; или внутри куба из упругого материала, который находится под равномерным давлением или растягивается на всех шести гранях равными перпендикулярными граням силами — при условии, что в обоих случаях материал является однородным, без встроенных напряжений и что влиянием гравитации и других внешних сил можно пренебречь.

В этих ситуациях напряжение на любой воображаемой внутренней поверхности оказывается равным по величине и всегда направлено перпендикулярно поверхности независимо от её ориентации. Этот тип напряжения можно назвать изотропным нормальным или просто изотропным; если наблюдается напряжение сжатия, то оно называется гидростатическим давлением или просто давлением. Газы по определению не могут выдерживать растягивающие напряжения, но некоторые жидкости могут выдерживать удивительно большие значения изотропного растягивающего напряжения при некоторых обстоятельствах (см. Z-образную трубку).

Детали с осевой симметрией, такие как колеса, оси, трубы, диски и стойки очень распространены в технике. Часто рисунки напряжений, возникающие в таких деталях, имеют вращательную (аксиальную) или даже цилиндрическую симметрию. При анализе таких цилиндрических напряжений используют симметрию для уменьшения размерности области и/или тензора напряжений.

Иллюстрация типичных напряжений (стрелки) на различных элементах поверхности на границе частицы (сферы) в однородном материале при однородном (но не изотропном) трехосном напряжении. Нормальные напряжения на главных осях равны +5, +2 и −3 единиц.

Комбинированные напряжения нельзя описать одним вектором. Поэтому даже если материал подвергается одинаковому напряжению во всем объёме тела, напряжение на любой воображаемой поверхности будет зависеть от ориентации этой поверхности нетривиальным образом.

Тензор напряжений Коши подчиняется закону преобразования тензоров при изменении системы координат. Для графического представлением этого закона преобразования используют круг напряжений Мора .

Обычно напряжение распределяется в объёме материального тела неравномерно и может меняться со временем. Следовательно, тензор напряжений должен быть определён для каждой точки и каждого момента времени, рассматривая бесконечно малую частицу среды, окружающую эту точку, и принимая средние напряжения в этой частице за напряжения в этой точке.

Искусственные объекты часто изготавливаются из стандартных деталей сделанных из различных материалов с помощью операций, которые не меняют их по существу их двумерного характера, таких как резка, сверление, плавная гибка и сварка по краям. Описание напряжений в таких телах можно упростить, моделируя эти части как двумерные поверхности, а не как трехмерные тела.

С этой точки зрения можно переопределить «частицу» как бесконечно малый участок поверхности пластины, так что граница между соседними частицами становится бесконечно малым линейным элементом (контуром); оба они неявно вытянуты в третьем измерении, перпендикулярно пластине. Затем «напряжение» переопределяется как мера внутренних сил между двумя соседними «частицами», вдоль их общего линейного элемента, деленная на длину этого элемента. Некоторые компоненты тензора напряжений можно игнорировать, но, поскольку частицы не являются бесконечно малыми в третьем измерении, нельзя больше игнорировать крутящий момент, который частица прикладывает к соседним частицам. Этот крутящий момент моделируется как напряжение изгиба, которое имеет тенденцию изменять кривизну пластины. Однако эти упрощения могут быть неприменимы к сварным швам или при резких изгибах и складках (где радиус кривизны сравним с толщиной листа).

Анализ напряжений значительно упрощается также для тонких стержней, балок или проволоки однородного (или плавно меняющегося) состава и поперечного сечения, которые подвергаются умеренному изгибу и скручиванию. Для этих тел можно рассматривать только поперечные сечения, перпендикулярные оси стержня, и переопределить «частицу» как кусок проволоки с бесконечно малой длиной между двумя такими поперечными сечениями. Обычное напряжение поэтому сводится к скаляру (растяжение или сжатие стержня), но необходимо также учитывать напряжение изгиба (которое пытается изменить кривизну стержня в некотором направлении, перпендикулярном оси) и напряжение скручивания (которое пытается повернуть или раскрутить его вокруг своей оси).

Тензор напряжений Коши используется для анализа напряжений материальных тел, испытывающих небольшие деформации, где различиями в распределении напряжений в большинстве случаев можно пренебречь. Для больших деформаций или конечных деформаций требуются другие методы описания напряжений, такие как , тензор напряжений Био и тензор напряжений Кирхгофа.

Твердые тела, жидкости и газы обладают полями напряжений. Статические жидкости поддерживают нормальное напряжение, но текут под действием напряжения сдвига. Движущиеся вязкие жидкости могут сопротивляться напряжению сдвига (динамическое давление). Твердые тела могут выдерживать как сдвиговые, так и нормальные напряжения, при этом пластичные материалы разрушаются при сдвиге, а хрупкие материалы — при нормальном напряжении. Все материалы обладают зависимыми от температуры изменениями свойств, связанных с напряжением, а неньютоновские материалы изменяются в зависимости от скорости.

Анализ напряжений — это раздел прикладной физики, который рассматривает вопрос об определении распределения внутренних сил в твердых телах. Это важный метод в инженерных науках для изучения и проектирования таких конструкций, как туннели, плотины, механические части и каркасы конструкций, при заданных или ожидаемых нагрузках. Анализ напряжений также важен во многих других дисциплинах; например, в геологии для изучения таких явлений, как тектоника плит, вулканизм и лавины; и в биологии, для понимания анатомии живых существ.

Анализ напряжений обычно касается объектов и конструкций, которые, как можно предположить, находятся в макроскопическом статическом равновесии. Согласно законам движения Ньютона, любые внешние силы, приложенные к такой системе, должны быть уравновешены внутренними силами реакции которые почти всегда вызваны силами поверхностного контакта между соседними частицами, то есть напряжениями. Поскольку каждая частица должна находиться в равновесии, это напряжение связанное с силой реакции обычно распространяется от частицы к частице, создавая распределение напряжения по всему телу.

Типичная проблема при анализе напряжений — определить эти внутренние напряжения с учётом внешних сил, действующих на систему. Последние могут быть как объемными силами (такими как гравитация или магнитное взаимодействие), которые действуют во всем объёме материала; или сосредоточенные нагрузки (например, трение между осью и подшипником или давление колеса поезда на рельсе), которые, как предполагается, действуют в двухмерной области или вдоль линии или в одной точке.

При анализе напряжений обычно не учитывают физические причины сил или точную природу материалов. Вместо этого предполагается, что напряжения связаны с деформацией (и, в нестационарных задачах, со скоростью деформации) материала с помощью известных материальных соотношений.

Анализ напряжений можно выполнить экспериментально, путем приложения нагрузок к фактической детали или для масштабированной модели и измерения результирующих напряжений с помощью любого из нескольких доступных методов. Этот подход часто используется для сертификации и мониторинга безопасности больших конструкций. Однако большая часть анализа напряжений выполняется математическими методами, особенно во время проектирования. Для основной задачи анализа напряжений следует составить уравнения движения Эйлера для сплошных тел (которые являются следствием законов Ньютона для сохранения количества движения и момента количества движения) и принципа напряжений Эйлера — Коши вместе с соответствующими материальными соотношениями. Таким образом, получается система уравнений в частных производных, включающая поле тензора напряжений и поле тензора деформации в качестве неизвестных функций, которые необходимо найти. Внешние объемные силы появляются как независимый («правая часть») член в дифференциальных уравнениях, а сосредоточенные силы входят в уравнения как граничные условия. Таким образом, основная задача анализа напряжений — это краевая задача .

Расчет напряжений для упругих конструкций основан на теории упругости и теории бесконечно малых деформаций. Когда приложенные нагрузки вызывают остаточную деформацию, необходимо использовать более сложные материальные соотношения, которые могут учитывать важные физические процессы (пластическое течение, разрушение, фазовый переход и т. д.).

Однако инженерные конструкции обычно проектируются таким образом, чтобы максимальные ожидаемые напряжения находились в пределах диапазона линейной упругости (обобщение закона Гука для сплошных сред); то есть деформации, вызванные внутренними напряжениями, должны быть связаны с ними линейно. В этом случае дифференциальные уравнения, определяющие тензор напряжений, являются линейными, и задача значительно упрощается. Во-первых, напряжение в любой точке также будет линейной функцией нагрузки. При достаточно малых напряжениях даже нелинейные системы обычно можно считать линейными.

Упрощенная модель фермы для анализа напряжений, предполагающая наличие одномерных элементов при равномерном осевом растяжении или сжатии.

Анализ напряжений упрощается, когда физические размеры и распределение нагрузок позволяют рассматривать конструкцию как одномерную или двумерную. Например, при расчете ферм можно предположить, что поле напряжений является однородным и одноосным для каждого элемента. Тогда дифференциальные уравнения сводятся к конечной системе уравнений (обычно линейных) с конечным числом неизвестных. В других подходах можно свести трехмерную задачу к двумерной и / или заменить общие тензоры напряжений и деформаций более простыми моделями используя симметрию задачи, такими как одноосное растяжение / сжатие, простой сдвиг и т. д.

Тем не менее, для двумерных или трехмерных случаев необходимо решить систему уравнений в частных производных. Аналитические или замкнутые решения дифференциальных уравнений могут быть получены, когда геометрия, определяющая соотношения и граничные условия достаточно просты. В противном случае обычно приходится прибегать к численным методам, таким как метод конечных элементов, метод конечных разностей и метод граничных элементов .

Механика сплошной среды имеет дело с деформируемыми телами, а не с абсолютно твердыми телами. В механике сплошной среды учитываются только напряжения, возникающие при приложении внешних сил и последующей деформации тела; другими словами, рассматриваются относительные изменения деформации, а не их абсолютные значения. Тело считается свободной от напряжений, если только силы представляют собой те межатомные силы (ионной, металлической или ван дер ваальсовой природы), необходимых для удержания тела вместе и сохранения своей формы в отсутствие всех внешних воздействий, в том числе гравитационнымого притяжения[4][5]. Также исключаются напряжения, возникающие во время изготовления конкретной формы тела при механической обработке.

Следуя классической ньютоновской и эйлеровой динамике, движение материального тела вызывается действием приложенных извне сил, которые, как предполагается, бывают двух видов: поверхностные силы и объемные силы[6].

Поверхностные силы или контактные силы могут действовать либо на ограничивающую поверхность тела в результате механического контакта с другими телами, либо на воображаемые внутренние поверхности, связывающие части тела, в результате механического взаимодействия между его частями по обе стороны от этой поверхности (принцип напряжений Эйлера — Коши). Когда внешние контактные силы действуют на тело, внутренние контактные силы передаются от точки к точке внутри тела, чтобы сбалансировать свое действие, согласно второму закону движения Ньютона о сохранении количества движения и момента импульса. Эти законы называются уравнениями движения Эйлера для сплошных сред. Внутренние контактные силы связаны с деформацией тела через определяющие уравнения. В этой статье дается математическое описание внутренних контактных сил и их отношения к движению тела, независимо от его материального состава[7].

Напряжение можно рассматривать как меру интенсивности внутренних контактных сил, действующих между частицами тела через воображаемые внутренние поверхности[8]. Другими словами, напряжение — это мера средняя сила, прилагаемая к единице площади поверхности, на которую действуют эти внутренние силы. Интенсивность контактных сил обратно пропорциональна площади контакта. Например, если сила, приложенная к небольшой площади, сравнивается с распределенной нагрузкой той же результирующей величины, приложенной к большей площади, обнаруживается, что эффекты или интенсивности этих двух сил локально различны, поскольку напряжения в среде не одинаковы.

Объёмные силы возникают благодаря источникам вне тела[9], которые действуют на его объём (или массу). Это означает, что внутренние силы проявляются только через контактные силы[10]. Эти силы возникают из-за нахождения тела в различных силовых полях, (например, гравитационном поле). Поскольку предполагается, что масса сплошного тела непрерывно распределена, любая сила, источником которой служит масса, также непрерывно распределена. Таким образом, предполагается, что объемные силы непрерывны по объёму тела[11].

Плотность внутренних сил в каждой точке деформируемого тела не обязательно является равномерной, то есть существует распределение напряжений. Это изменение внутренних сил регулируется законами сохранения линейного и углового моментов, которые обычно применяются к массивной частице, но распространяются в механике сплошной среды на тело с непрерывно распределенной массой. Если тело представить как совокупность дискретных частиц, каждая из которых подчиняется законам движения Ньютона, то уравнения Эйлера выводятся из законов Ньютона. Однако уравнения Эйлера можно рассматривать как аксиомы, описывающие законы движения протяженных тел, независимо от структуры какой-либо частицы[12].

Принцип напряжений Эйлера — Коши утверждает, что «в каждом поперечном сечении, мысленно проведенном внутри тела, имеет место взаимодействие сил такого же характера, как и распределенных по поверхности нагрузок»[13], и это взаимодействие представлено векторным полем T(n), называемым вектором напряжения, определённым на поверхности S и непрерывно зависящим от единичного вектора поверхности n[11][14].

Для объяснения этого принципа, рассмотрим воображаемую поверхность S, проходящую через внутреннюю точку тела P, разделяющую непрерывное тело на два сегмента, как показано на рис. 2.1a или 2.1b (можно использовать либо диаграмму плоскости отсечения, либо диаграмму с произвольным объёмом внутри среды, заключенного внутри поверхности S). На тело действуют внешние поверхностные силы F и объемные силы b. Внутренние контактные силы, передаваемые от одного сегмента тела к другому через разделяющую их плоскость, из-за воздействия одной части среды на другую, создают распределение силы на небольшой площадке ΔS с нормальным единичным вектором n, показанном на секущей плоскости S. Распределение силы равно контактной силе ΔF и связанным с ней моментным напряжением ΔM, как показано на рисунках 2.1a и 2.1b. Принцип напряжений Коши утверждает[4], что, когда ΔS стремится к нулю, отношение ΔFS становится dF/dS, а вектор моментного напряжения ΔM обращается в нуль. В некоторых областях механики сплошных сред предполагается, что моментное напряжение не обращается в нуль; однако классические разделы механики сплошной среды обращаются к неполярным материалам, которые не принимают моментные напряжения во внимание. Результирующий вектор dF/dS определяется как вектор напряжения, задаваемый формулой T(n) = Ti(n) ei точке P, связанной с плоскостью с вектором нормали n:

Это уравнение означает, что вектор напряжения зависит от его положения в теле и ориентации плоскости, на которую он действует.

В зависимости от ориентации рассматриваемой плоскости вектор напряжения не обязан быть перпендикулярным этой плоскости, то есть параллельным n, и его можно разложить на две составляющие (рисунок 2.1c):

Согласно постулату Коши, вектор напряжения T(n) остается неизменным для всех поверхностей, проходящих через точку P и имеющих один и тот же вектор нормали n в точке P[10][15], то есть имеющих общую касательную в точке P. Это означает, что вектор напряжения является функцией только вектора нормали n и не зависит от кривизны внутренних поверхностей.

Из постулата Коши следует фундаментальная лемма Коши[5][9][10], также известная как теорема взаимности Коши[16], которая гласит, что векторы напряжений, действующие на противоположных сторонах одной и той же поверхности, равны по величине и противоположны по направлению. Фундаментальная лемма Коши эквивалентна третьему закону действия и противодействия Ньютона и выражается как

Состояние напряжения в точке тела определяется всеми векторами напряжений T(n) связанными со всеми плоскостями (бесконечным числом), которые проходят через эту точку[8]. Однако, согласно основной теореме Коши[5], также известной как теорема Коши о напряжениях[9], по известным векторам напряжений на трех взаимно перпендикулярных плоскостях, можно найти вектор напряжения на любой другой плоскости, проходящей через эту точку с помощью уравнения преобразования координат.


Теорема Коши о напряжениях утверждает, что существует тензорное поле второго ранга σ(x, t), называемое тензором напряжений Коши, не зависящее от n, такое, что T линейно зависит от n:

Это уравнение подразумевает, что вектор напряжения T(n) в любой точке P среды, связанной с плоскостью с нормальным единичным вектором n может быть выражен как функция векторов напряжений на плоскостях, перпендикулярных трём осям координат, то есть через компоненты σij тензора напряжений σ.

Чтобы доказать это выражение, рассмотрим тетраэдр с тремя гранями, ориентированными в координатных плоскостях и с бесконечно малой площадью dA ориентированной в произвольном направлении, заданном нормальным единичным вектором n (рисунок 2.2). Тетраэдр образован разрезанием бесконечно малого элемента вдоль произвольной плоскости с нормалью n. Вектор напряжений на этой плоскости обозначается как T(n). Векторы напряжений, действующие на грани тетраэдра, обозначаются как T(e1), T(e2) и T(e3) и по определению являются компонентами σij тензора напряжений σ. Этот тетраэдр иногда называют тетраэдром Коши. Равновесие сил, то есть первый закон движения Эйлера (второй закон движения Ньютона), дает:

где правая часть представляет собой произведение массы, заключенной в тетраэдр, на его ускорение: ρ плотность, a ускорение, h высота тетраэдра, если принять плоскость n за основание. Площадь граней тетраэдра, перпендикулярных осям, можно найти путем проецирования dA на каждую грань (с использованием скалярного произведения):

Чтобы рассмотреть предельный случай, когда тетраэдр сжимается до точки, h должна стремиться к 0 интуитивно понятно, что плоскость с нормалью n перемещается вдоль вектора n ы сторону O). В результате правая часть уравнения стремится к 0, поэтому

Рассмотрим элемент (рисунок 2.3) с плоскостями, перпендикулярными осям координат декартовой системы координат. Векторы напряжений, связанные с каждой из плоскостей этого элемента, то есть T(e1), T(e2), и T(e3) можно разложить на нормальную часть и две компоненты сдвига, то есть составляющие в направлении трех осей координат. Для частного случая поверхности с нормальным единичным вектором, ориентированным в направлении оси x1 обозначим нормальное напряжение через σ11, а два касательных напряжения как σ12 и σ13 (второй индекс показывает параллельную ось координат):

Девять компонентσij векторов напряжений представляют собой компонентами тензора второго ранга в декартовой системе коорднинат, называемого тензором напряжений Коши, который полностью определяет напряжённое состояние в точке и задается матрицей

где σ11, σ22, и σ33 — нормальные напряжения, σ12, σ13, σ21, σ23, σ31, и σ32 — напряжения сдвига (касательные напряжения). Первый индекс i указывает, что напряжение действует в плоскости, перпендикулярной оси xi, а второй индекс j обозначает направление, в котором действует напряжение. Компонент вектора напряжения положителен, если он действует в положительном направлении осей координат и если плоскость, в которой он действует, имеет вектор внешней нормали, указывающий в положительном направлении координат.

Таким образом, используя компоненты тензора напряжений можно записать:

Обозначения Фойгта для представление тензора напряжений Коши используются для удобства при наличии симметрии тензора напряжений, чтобы выразить напряжение в виде шестимерной векторной формы:

Обозначения Фойгта широко используется для представления соотношений напряжения-деформации в механике твердого тела и для повышения эффективности вычислений в программном обеспечении для численного рассчёта механики конструкций.

Можно показать, что тензор напряжений — это контравариантный тензор второго ранга. При перезоде из xi системы координат в xi' систему координат, компоненты σij в исходной системе преобразуются в компоненты σij' в новой системе в соответствии с правилом преобразования тензора (рисунок 2.4):

где A матрица вращения с компонентами aij. В матричной форме это записывается в виде

Расширение матричной операции и упрощение членов с использованием симметрии тензора напряжений дает:

Круг Мора для напряжений представляет собой графическое представление этого преобразования.

Величина компоненты нормального напряжения σn любого вектора напряжений T(n) действующей на произвольную плоскость с нормальным единичным вектором n в данной точке, выраженная с использованием компонент σij тензора напряжений σ, — это скалярное произведение вектора напряжения и нормального единичный вектора:

Величину компоненты напряжения сдвигаτn, действующей в плоскости, натянутой на два вектора T(n) и n, можно найти с помощью теоремы Пифагора:

Когда тело находится в равновесии, компоненты тензора напряжений в каждой точке тела удовлетворяют уравнениям равновесия:

Например, для гидростатической жидкости в условиях равновесия тензор напряжений принимает вид:

В то же время для равновесия требуется, чтобы сумма моментов относительно произвольной точки была равна нулю, что приводит к выводу, что тензор напряжений должен быть симметричным, то есть

В системе координат с осями, ориентированными вдоль главных направлений, что означает, что нормальные напряжения являются главными напряжениями, тензор напряжений представляется диагональной матрицей вида:

Из-за своей простоты система координат связанная с главными напряжениями часто бывает полезной при рассмотрении состояния упругой среды в определённой точке. Главные напряжения часто используют в следующем уравнении для оценки напряжений в направлениях x и y или осевых и изгибающих напряжений в детали[17]. Тогда главные нормальные напряжения используют для расчета напряжений по Мизесу и, в конечном итоге, коэффициента безопасности и запаса прочности.

Используя только части выражения под квадратным корнем можно получить максимальное (для плюса) и минимальное (для минуса) напряжение сдвига. Это записывается как:

Нормальная составляющая напряжения, действующая на плоскость максимального напряжения сдвига, не равна нулю и равна

Тензор девиаторных напряжений можно получить вычитанием тензора гидростатических напряжений из тензора напряжений Коши:

Величина, называемая эквивалентным напряжением или напряжением фон Мизеса, обычно используется в механике твердого тела. Она определяется как

то вектор напряжений на октаэдрической плоскости определяется выражением:

Нормальная составляющая вектора напряжений в точке O, связанная с октаэдрической плоскостью, равна

которая оказывается равной среднему нормальному напряжению или гидростатическом напряжению. Это значение одинаково для всех восьми октаэдрических плоскостей. Напряжение сдвига в октаэдрической плоскости тогда равно

Другие полезные способы представления напряжения включают первый и второй тензоры напряжений Пиолы — Кирхгофа, тензор напряжений Био и тензор напряжений Кирхгофа.

В случае конечных деформаций тензоры напряжений Пиолы — Кирхгофа выражают напряжение относительно некой эталонной конфигурации. В этом состоит отличие от тензора напряжений Коши, который выражает напряжение относительно текущей конфигурации. Для бесконечно малых деформаций и поворотов тензоры Коши и тензор Пиолы — Кирхгофа идентичны.

В терминах компонентов по отношению к ортонормированному базису первый тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа определяется выражением

Поскольку он связывает разные системы координат, первый тензор напряжения Пиолы — Кирхгофа является двухточечным тензором. В общем случае, он симметричен. Первый тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа представляет собой трехмерное обобщение одномерной концепции инженерного напряжения .

Если среда вращается без изменения напряженного состояния (жесткое вращение), то компоненты 1-го тензора напряжений Пиолы — Кирхгофа будут изменяться в зависимости от ориентации среды.

Если среда вращается без изменения напряженного состояния (жесткое вращение), то компоненты 2-го тензора напряжений Пиолы — Кирхгофа остаются постоянными, независимо от ориентации материала.