Натуральное число

Натуральные числа можно использовать для счёта (одно яблоко, два яблока и т. п.)

Натурáльные чи́сла (от лат. naturalis «естественный») — числа, возникающие естественным образом при счёте (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и так далее...[1]). Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом[2].

Свойства натуральных чисел и операций с ними изучают арифметика и (более углублённо) теория чисел.

Самый примитивный способ представления натурального числа - ставить метку при учёте каждого объекта. Позже набор объектов можно будет проверить на равенство, избыток или недостаток - вычеркнув отметку и удалив объект из набора. Первым крупным достижением в абстракции стало использование цифр для обозначения натуральных чисел. Это позволило разработать системы для записи больших чисел. Древние египтяне разработали обширную систему цифр с четкими иероглифами для 1, 10 и всеми степенями от 10 до более чем 1 миллиона. На каменной резьбе из Карнака , датируемой примерно 1500 лет до н.э. и ныне находящейся в Лувре, число 276 изображены как 2 сотни, 7 десятков и 6 единиц; и аналогично для числа 4622[3].

Гораздо более поздним достижением стало развитие идеи о том, что ноль можно рассматривать как число с собственной цифрой. Использование цифры 0 в обозначении места (в других числах) восходит к 700 г. до н.э. вавилонянами, которые опускали такую ​​цифру, когда она была последним символом в числе[a] Ноль использовался в качестве числа в средневековыхм вычислениях (вычислении даты Пасхи), начиная с Дионисия Экзигууса в 525 году нашей эры, без обозначения цифрой (стандартные римские цифры не имеют символа для 0). Вместо этого для обозначения нулевого значения использовалось лат. nulla (или родительный падеж лат. nullae в значении «нет»)[5]. Использование ноля в наше время возникло у индийского математика Брахмагупты в 628 г. н.э.

Первое систематическое изучение чисел, как абстракций, обычно приписывают греческим философам Пифагору и Архимеду . Некоторые греческие математики относились к числу 1 иначе, чем к большим числам, а иногда и вовсе не как к числу[b]. Евклид , например, сначала определил сущность единицы, а затем число как множество единиц, таким образом, по его определению единица не является числом, и не существует уникальных чисел (например, любые две единицы из неопределенного множества единиц являются числом 2)[7].

В Европе XIX века велись математические и философские дискуссии о точной природе натуральных чисел. Анри Пуанкаре был одним из ее защитников такой концепции, как и Леопольд Кронекер , который резюмировал свою веру так: «Бог создал целые числа, все остальное - дело рук человека». Такая концепция была определена, как натуралистическая[c] В противовес натуралистам конструктивисты видели необходимость совершенствовать логическую основу в основах математики. В 1860-х годах Герман Грассманн предложил рекурсивное определение натуральных чисел, таким образом заявив, что они не совсем естественные, а являются следствием определений. Далее было построены два класса таких формальных определений; позднее было показано, что они эквивалентны в большинстве практических приложений.

Теоретико-множественные определения натуральных чисел были инициированы Фреге. Первоначально он определил натуральное число, как класс всех множеств, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с определенным множеством. Однако это определение привело к парадоксам, в том числе к парадоксу Рассела. Чтобы избежать таких парадоксов, формализм был изменен таким образом, что натуральное число определяется как конкретное множество, а любой набор, который можно поставить во взаимно однозначное соответствие с этим набором, называется имеющим это количество элементов[9].

Второй класс определений был введен Чарльзом Сандерсом Пирсом, уточнен Ричардом Дедекиндом и исследован Джузеппе Пеано — этот подход теперь называется аксиомами Пеано. Он основан на аксиоматизации свойств порядковых чисел: каждое натуральное число имеет преемника, а каждое ненулевое натуральное число имеет уникального предшественника. Арифметика Пеано равнозначна нескольким слабым системам теории множеств. Одной из таких систем является система Цермело — Френкеля (ZFC), в которой аксиома бесконечности заменена ее отрицанием. Теоремы, которые могут быть доказаны в ZFC, но не могут быть доказаны с помощью аксиом Пеано, включают Теорема Гудштейна[10].

На основании такого базиса определений удобно включать ноль (соответствующий пустому набору) как натуральное число. Включение ноля в настоящее время является обычным явлением среди теории множеств[11] и логических построений[12].

В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором — с нуля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход[13]. Второй подход, например, применяется в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств. Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие расширенного натурального ряда, включающего ноль[13].

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивное представление о натуральном ряде и числовой линии.

Теоретико-множественное определение натуральных чисел (определение Фреге — Рассела)

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

Опишем несколько первых ординальных чисел и соответствующих им натуральных чисел:

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):

Следует заметить, что операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Если обозначить класс эквивалентности множества A, порождённый биекциями, с помощью квадратных скобок: [A], основные арифметические операции определятся следующим образом:

Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.