Натуральное число

Натуральные числа можно использовать для счёта (одно яблоко, два яблока и т. п.)

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивное представление о натуральном ряде и числовой линии.

Теоретико-множественное определение натуральных чисел (определение Фреге — Рассела)

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

Опишем несколько первых ординальных чисел и соответствующих им натуральных чисел:

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):

Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.