Метод прогонки

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от , проверенной 14 апреля 2020; проверки требуют .

Метод прогонки основывается на предположении, что искомые неизвестные связаны рекуррентным соотношением:

Используя это соотношение, выразим xi-1 и xi через xi+1 и подставим в уравнение (1):

где Fi — правая часть i-го уравнения. Это соотношение будет выполняться независимо от решения, если потребовать

Другим способом объяснения существа метода прогонки, более близким к терминологии конечно-разностных методов и объясняющим происхождение его названия, является следующий: преобразуем уравнение (1) к эквивалентному ему уравнению

Такая схема вычисления объясняет также английский термин этого метода[прояснить] «shuttle»[источник не указан 304 дня].

Для применимости формул метода прогонки достаточно свойства диагонального преобладания у матрицы A.

Трёхдиагональные матрицы, для обращения которых применяется метод простой прогонки, нередко возникают при решении дифференциальных уравнений двух независимых переменных методом конечных разностей. Рассмотрим для примера решение линейного одномерного уравнения теплопроводности:

Вид матрицы коэффициентов для конечных точек разностной сетки определяется граничными условиями и выводится отдельно. Наличие диагонального преобладания у матрицы коэффициентов гарантирует устойчивость метода прогонки при решении им данной СЛАУ.