То же можно сказать о представлении матрицами билинейных (квадратичных) форм.

На языке матриц условие разрешимости системы линейных уравнений формулируется в виде теоремы Кронекера-Капелли:

Это приводит к алгоритму вычисления значений неизвестных по правилу Крамера.

Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие преобразования:

Строки и столбцы матрицы являются элементами соответствующих векторных пространств:

Если необходимо дать развёрнутое представление матрицы в виде таблицы, то используют запись вида

Поскольку матрица состоит из строк и столбцов, для них используются следующие обозначения:

Таким образом, матрица обладает двойственным представлением — по строкам:

Такое представление позволяет формулировать свойства матриц в терминах строк или в терминах столбцов.

Единичная матрица — матрица, при умножении на которую любая матрица (или вектор) остается неизменной, является диагональной матрицей с единичными (всеми) диагональными элементами:

Все свойства линейных операций повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема:

По обычным правилам матричного умножения вектор-столбец умножается на матрицу, которая записывается слева от него, а вектор-строка умножается на матрицу, которая записывается справа от неё. Поскольку элементы вектора-столбца или вектора-строки можно записать (что обычно и делается), используя один, а не два индекса, это умножение можно записать так:

Вектор-строка, матрица и вектор-столбец могут быть умножены друг на друга, давая число (скаляр):

(Порядок важен: вектор-строка слева, вектор-столбец справа от матрицы).

Эти операции являются основой матричного представления линейных операторов и линейных преобразований координат (смены базисов), таких, как повороты, масштабирования, зеркальные отражения, а также (последнее) матричного представления билинейных (квадратичных) форм.

Если какой-либо вектор можно представить в виде линейной комбинации, то говорят о линейной зависимости данного вектора от элементов комбинации.

Точнее, говорят так: некоторая совокупность элементов векторного пространства называется линейно зависимой, если существует равная нулю линейная комбинация элементов данной совокупности или

Линейная зависимость векторов означает, что какой-то вектор заданной совокупности линейно выражается через остальные векторы.

Каждая матрица представляет собой совокупность векторов (одного и того же пространства). Две такие матрицы — две совокупности. Если каждый вектор одной совокупности линейно выражается через векторы другой совокупности, то на языке теории матриц этот факт описывается при помощи произведения матриц:

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Если количество строк матрицы равно количеству столбцов, то такая матрица называется квадратной.

У единичной матрицы единицы стоят только по главной диагонали, остальные элементы равны нулю

Конечную группу (в частности, симметрическую) можно (изоморфно) промоделировать матрицами перестановок (содержащими только «0» и «1»),