Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

являются линейно независимыми (вообще говоря, комплексными) решениями однородного уравнения, они образуют фундаментальную систему решений.

Общее решение уравнения является линейной комбинацией с произвольными постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами фундаментальной системы решений.

и построить общее решение уравнения в виде линейной комбинации с произвольными вещественными постоянными коэффициентами.

Неоднородное уравнение интегрируется методом вариации произвольных постоянных (Метод Лагранжа).

Как в общем случае линейных уравнений, имеет место принцип суперпозиции, используемый в разных формулировках принципа суперпозиции в физике.

частное решение неоднородного уравнения тоже состоит из суммы двух функций

Уравнение Коши — Эйлера является частным случаем линейного дифференциального уравнения вида:

Дифференциальные уравнения являются наиболее часто используемой и классической формой математического описания процессов. Разные формы математических описаний являются инструментальным средством аналитического анализа и синтеза динамических систем и систем автоматического управления. Дифференциальные уравнения, параметры которых зависят от переменных, называются нелинейными и не имеют общих решений. В настоящее время в теории автоматического управления широко используется математический аппарат интегральных преобразований Лапласа и Фурье. Из математики известно, что в частотную область компактно преобразуется д.у. с постоянными коэффициентами и при нулевых начальных условиях. И в теории управления такое уравнение является линейным.[1]

Если динамическая система представлена нелинейными дифференциальными уравнениями математической физики, то для применения классических методов анализа этих систем требуется их линеаризация.