Линейная алгебра

Лине́йная а́лгебра — раздел алгебры, изучающий объекты линейной природы: векторные (или линейные) пространства, линейные отображения[⇨], системы линейных уравнений[⇨], среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — определители, матрицы[⇨], сопряжение. Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно (в целом или частично) также считаются составными частями линейной алгебры[1]. Такие объекты как квадратичные и билинейные формы[⇨], тензоры[⇨] и операции как тензорное произведение непосредственно вытекают из изучения линейных пространств, но как таковые относятся к полилинейной алгебре.

Линейная алгебра обобщена средствами общей алгебры, в частности, современное определение линейного (векторного) пространства[⇨] опирается исключительно на абстрактные структуры, а многие результаты линейной алгебры обобщены на произвольные модули над кольцом. Более того, методы линейной алгебры широко используются и в других разделах общей алгебры, в частности, нередко применяется такой приём, как сведение абстрактных структур к линейным и изучение их относительно простыми и хорошо проработанными средствами линейной алгебры, так, например, реализуется в теории представлений групп[⇨]. Функциональный анализ возник как применение методов математического анализа и линейной алгебры к бесконечномерным линейным пространствам, и во многом базируется на методах линейной алгебры и в дальнейших своих обобщениях. Также линейная алгебра нашла широкое применение в многочисленных приложениях (в том числе, в линейном программировании[⇨], в эконометрике[⇨]) и естественных науках (например, в квантовой механике[⇨]).

Первые элементы линейной алгебры следовали из практических вычислительных задач вокруг решения линейных уравнений, в частности, такие арифметические приёмы как тройное правило и правило ложного положения[en] были сформулированы ещё в древности. В «Началах» Евклида фигурируют две теории «линейного» характера: теория величины и теория целых чисел. Близкие к современным матричным методам подходы к решению систем линейных уравнений обнаруживаются у вавилонян (системы из двух уравнений с двумя переменными) и древних китайцев (в «Математике в девяти книгах», до трёх уравнений с тремя переменными)[2]. Однако после достижения определённости с основными вопросами нахождения решений систем линейных уравнений развитие раздела практически не происходило, и даже в конце XVIII — начале XIX века считалось, что проблем относительно уравнений первой степени больше не существует, притом системы линейных уравнений с числом переменных, отличающихся от количества уравнений или с линейно-зависимыми коэффициентами в левой части попросту считались некорректными[3].

Методы, сформировавшие линейную алгебру как самостоятельную отрасль математики, уходят корнями в другие разделы. Ферма в 1630-е годы, создав классификацию плоских кривых, ввёл в математику (ключевой для линейной алгебры) принцип размерности и разделил задачи аналитической геометрии по числу неизвестных (с одним неизвестным — отыскание точки, с двумя — кривой или геометрического места на плоскости, с тремя — поверхности). Эйлер создал классификацию кривых по порядкам, обратив внимание на линейный характер преобразований координат, и ввёл в оборот понятие аффинного преобразования (и само слово «аффинность»)[4].

Ещё одним источником подходов для линейной алгебры стала проективная геометрия, создание которой начато Дезаргом в XVII веке и получившей значительное развитие в трудах Монжа конца XVIII века и в дальнейшем в работах Понселе, Брианшона и Шаля начала — середины XIX века. В те времена основным предметом изучения проективной геометрии были коники и квадрики, являющиеся по сути квадратичными формами. Кроме того, понятие двойственности проективных пространств, введённое Монжем, являет один из аспектов двойственности в линейных пространствах (однако эта связь была замечена только в конце XIX века Пинкерле)[14].

Но основной базой линейной алгебры стало фактически влившееся в раздел векторное исчисление, очерченное Гауссом в работах по геометрической интерпретации комплексных чисел (1831) и обретшее окончательную форму в трудах Мёбиуса, Грассмана и Гамильтона 1840-х — 1850-х годах. Так, Гамильтон в 1843 году открывает кватернионы, четырёхмерный аналог комплексных чисел, и даёт им геометрическую интерпретацию по аналогии с гауссовой (Гамильтону, в том числе, принадлежит и введение термина «вектор»). Физики школы Гамильтона, из которых самым выдающимся был Максвелл, тщательно проработали то, что сейчас относится к векторной алгебре в трёхмерном евклидовом пространстве: введены понятия скалярного, векторного и смешанного произведений векторов, набла-оператор[15], сформирована вошедшая в традицию символика, также начиная с этого времени векторы проникают и в школьные программы. Вместе с тем для школы Гамильтона центральным понятием были не векторы, а кватернионы, и определения линейной алгебры давались в терминах умножения кватернионов.

Параллельно шло развитие линейной алгебры и в Европе. В 1844 году Грассман строит понятие внешней алгебры, описывающей подпространства линейного пространства[16]. Долгое время его работы незаслуженно обходились вниманием: языком, адекватным физической картине мира, считался язык кватернионов. Так, Тэт, лидер школы «кватернионистов», считал смехотворной критику Гиббса, указывавшего, что язык кватернионов не приспособлен для описания пространств размерности выше четырёх, ибо пространство-время четырёхмерно; в то время как для Гиббса это было крайне важно, ибо фазовые пространства в разработанной им статистической механике имеют очень большую размерность (порядка числа Авогадро). Впоследствии правота Гиббса, идеи которого были развиты Хевисайдом, подтвердилась: основным языком стал именно язык векторного исчисления, а повсеместное употребление кватернионов осталось историческим курьёзом. Синтез идей Грассмана и Гамильтона был осуществлён в 1870-х Клиффордом: введённое им понятие алгебры Клиффорда включает как частные случаи как алгебру кватернионов, так и внешнюю алгебру.

Понятие матрицы ввёл Сильвестр в 1850 году[17][18]. Кэли обстоятельно разрабатывает матричное исчисление, публикуя в 1858 году «Мемуар о теории матриц» (англ. Memoir on the theory of matrices), принципиально, что Кэли рассматривает матрицы как нотацию для линейных подстановок[16]. В частности, в этой работе Кэли вводит сложение и умножение матриц, обращение матриц, рассматривает характеристические многочлены матриц и формулирует и доказывает для случаев 2×2 и 3×3 утверждение об обращении в нуль характеристического многочлена квадратной матрицы (известное как теорема Гамильтона — Кэли, так как случай 4×4 доказал Гамильтон с использованием кватернионов), доказательство для общего случая принадлежит Фробениусу (1898). Системы линейных уравнений в матрично-векторном виде впервые появились, по-видимому, в работах Лагерра (1867). Матричные группы, связанные с неевклидовыми геометриями, появились в работах Киллинга в 1880-х годах, вместе с более ранними работами Ли они стали основой теории групп и алгебр Ли. На рубеже веков эта теория была обогащена Энгелем и Картаном, давшими классификацию полупростых алгебр Ли и попутно открывшими векторное произведение в семимерном пространстве.

В 1888 году Пеано на базе исчисления Грассмана впервые в явном виде сформулировал аксиомы линейного пространства (векторных пространств над полем действительных чисел в том числе бесконечномерных) и применил обозначения, сохранившиеся в употреблении в XX—XXI века[21]. Тёплиц в начале 1910-х годов обнаружил, что при помощи аксиоматизации линейного пространства для доказательства основных теорем линейной алгебры не требуется прибегать к понятию определителя, что позволяет распространить их результаты на случай бесконечного числа измерений [21]. Аксиоматическое определение векторного и евклидова пространства было впервые чётко сформулировано в начале XX века практически одновременно Вейлем и фон Нейманом, исходя из запросов квантовой механики[22].

Тензорное исчисление, разработанное в 1890-е годы Риччи и Леви-Чивитой, составило своей алгебраической частью основное содержание полилинейной алгебры. Особое внимание к этому подразделу было привлечено в 1910-е — 1930-е годы благодаря широкому использованию тензоров Эйнштейном и Гильбертом в .

В 1922 году Банах, изучая полные нормированные линейные пространства, ставшие известными после его работ как банаховы, обнаружил, что уже в конечном случае возникают линейные пространства, не изоморфные своему сопряжённому[21], и в этой связи в первой половине XX века методы и результаты линейной алгебры обогатили функциональный анализ, сформировав его основной предмет в современном понимании — изучение топологических линейных пространств[23]. Также в 1920-е — 1950-е годы получает распространение направление по линеаризации общей алгебры, так, развивая результат Дедекинда о линейной независимости любых автоморфизмов поля, Артин линеаризовывает теорию Галуа, а в 1950-е годы, прежде всего, в работах Джекобсона, эти результаты обобщены на произвольные расширения тел[24]; благодаря этим построениям обретена возможность применения инструментов и достижений хорошо изученной линейной алгебры в весьма абстрактных разделах общей алгебры.

Со второй половины XX века, с появлением компьютеров, развитием методов вычислительной математики и компьютерной алгебры, в рамках линейной алгебры получило бурное развитие вычислительное направление — отыскание методов и алгоритмов, обеспечивающих эффективное решение задач линейной алгебры с использованием вычислительной техники, сформировался самостоятельный раздел вычислительной линейной алгебры (англ. numerical linear algebra), а решение задач линейной алгебры стало одной из важных практических составляющих использования компьютеров. В числе работ, положивших начало разработке этого направления, стало создание Тьюрингом алгоритма LU-разложения квадратной матрицы на верхнюю и нижнюю треугольные (1948)[25]. Показательно, что результаты тестов Linpack[en], в которых вычислительные системы должны решить сложные системы линейных уравнений с использованием LU-разложения, считаются основным показателем производительности вычислений с плавающей запятой, в том числе и для кластерных систем. В 1950-е — 1960-е годы крупные исследования в области вычислительной линейной алгебры опубликованы Фаддеевым и Уикинсоном, значительные результаты в 1970-е — 2000-е годы получены Марчуком, Самарским, Годуновым, Голубом (англ. Gene H. Golub), Аксельсоном[26].

Определитель — многочлен, комбинирующий элементы квадратной матрицы особым способом, характеризующий обратимость матрицы. Точнее, определитель матрицы обращается в нуль тогда и только тогда, когда матрица необратима. Это же условие, равносильно тому, что в матрице есть линейно-зависимые строки или столбцы. Квадратные матрицы, определитель которых равен нулю называются вырожденными, если определитель отличен от нуля — то матрица называется невырожденной. Определитель может использоваться при решении систем линейных уравнений. На его базе вводятся понятия минора, дополнительного минора, алгебраического дополнения[29].

Понятие вектора (сам термин «вектор» был введён У. Гамильтоном) изначально возникло как геометрическая абстракция для объектов, характеризующихся одновременно величиной и направлением, таких как скорость, момент силы, напряжённость электрического поля, намагниченность. В начале XX века изначальная интерпретация векторов (до сих пор используемая в элементарной математике) как «направленных отрезков» сменилось на аксиоматику векторного пространства с двумя операциямиː сложением векторов и умножение вектора на числа (более общо, на элементы поля). Кроме того, часто вводятся различные виды произведения векторов: скалярное, векторное, смешанное, псевдоскалярное, двойное векторное.

В качестве поля иногда специально рассматриваются поле вещественных чисел (тогда говорят о вещественном векторном пространстве) или поле комплексных чисел (комплексное векторное пространство) с обычными операциями сложения и умножения, в частности, в теории выпуклых множеств многие результаты формулируются именно для вещественных или комплексных векторных пространств[30]. Но значительная часть утверждений и большинство конструкций действенны для произвольных полей, более того, многие результаты линейной алгебры, полученные для векторных пространств, в XX веке обобщены до унитарных модулей над некоммутативными телами и даже для произвольных модулей над кольцами или модулей с определёнными ограничениями.

Дальнейшие обобщения векторных пространств, такие, как наделение их полунормами, нормами, метриками, топологиями, изучаются в функциональном анализе.

Когда между двумя векторными пространствами существует взаимно-однозначное отображение, являющееся линейным, то эти пространства называются изоморфными; многие свойства векторных пространств сохраняются при изоморфных преобразованиях (инвариантны относительно изоморфизма).

Над классом всех линейных отображений данных векторных пространств можно определить структуру векторного пространства. Линейные отображения конечномерных векторных пространств могут быть записаны в матричной форме и их свойства уже изучаются средствами матриц[⇨].

Синие и сиреневые векторы, сохраняющие направление при линейном преобразовании — собственные, красные — нет
Система линейных уравнений от трёх переменных определяет набор плоскостей. Точка пересечения является решением.

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными — это система уравнений вида