Краевая задача

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от , проверенной 13 февраля 2019; проверки требует .

Краевая задача (граничная задача) — задача о нахождении решения заданного дифференциального уравнения (системы дифференциальных уравнений), удовлетворяющего краевым (граничным) условиям в концах интервала или на границе области. Краевые задачи для гиперболических и параболических уравнений часто называют начально-краевыми или смешанными, потому что в них задаются не только граничные, но и начальные условия.

имеет нетривиальное (т.е. не равное тождественно нулю) решение. Совокупность собственных значений называют спектром, а соответствующие нетривиальные решения — собственными функциями этой задачи.

то собственные значения являются нулями характеристического детерминанта (определителя)

Для краевой задачи на собственные значения решаются следующие две стандартные проблемы:

Частным случаем краевой задачи на собственные значения является задача Штурма-Лиувилля:

Большинство численных методов решения краевых задач разработано для уравнений второго порядка.

Задачи о продольных и крутильных колебаниях упругого стержня приводят к краевым задачам для уравнения второго порядка, задача о поперечных колебаниях стержня — к уравнению четвертого порядка.[1] Решение уравнений в частных производных по методу Фурье приводит к задаче нахождения собственных значений и собственных функций краевой задачи, а также разложения произвольной функции в ряд по собственным функциям.[20]

Для существования решения необходимо, чтобы выполнялись условия гладкости

Решение внутренней и внешней задач Дирихле единственно и непрерывно зависит от граничных данных. Решение внутренней задачи Неймана определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Решение внешней задачи Неймана единственно.[23]