Раздел математики, изучающий свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

Синус и косинус можно определить как единственные функции, вторые производные которых равны самим функциям, взятым со знаком минус:

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу, и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде степенны́х рядов:

Разделив это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, получим:

Интересующие формулы приведения так же могут легко быть получены рассмотрением функций на единичной окружности.

Из формулы Муавра можно получить следующие общие выражения для кратных углов:

Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла:

Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:

Комплексные синус и косинус тесно связаны с гиперболическими функциями:

Большинство перечисленных выше свойств тригонометрических функций сохраняются и в комплексном случае. Некоторые дополнительные свойства:

На следующих графиках изображена комплексная плоскость, а значения функций выделены цветом. Яркость отражает абсолютное значение (чёрный — ноль). Цвет изменяется от аргумента и угла согласно карте.