Корреляционная функция

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от , проверенной 24 сентября 2021; проверки требует .


Корреляционная функция — функция времени и пространственных координат, которая задает корреляцию в системах со случайными процессами.

Если корреляционная функция вычисляется для одного и того же процесса, она называется автокорреляционной:

Аналогично можно вычислить корреляционную функцию для процессов, происходящих в разных точках пространства в различные моменты времени:

Корреляционные функции широко используются в статистической физике и других дисциплинах, изучающих случайные (стохастические) процессы.

В статистической физике корреляционная функция описывает, как микроскопические переменные (например, скорости движения атомов) связаны в различных точках пространства в различные моменты времени. Наиболее общее определение имеет следующий вид:

Иногда требуется рассмотреть временную эволюцию микроскопических переменных. Для этого используется пространственная корреляционная функция:

При этом важно понимать, что несмотря на то, что в равновесии некоторые макроскопические переменные не зависят от времени, микроскопические переменные (такие, как, например, вектор скорости частицы) могут зависеть от времени и поэтому подобные корреляционные функции, являющиеся по сути макроскопическими величинами, тоже могут зависеть от времени.

Одним из примеров корреляционных функций может служить радиальная функция распределения.

Еще одним классическим примером корреляционных функций может служить таковая в системе спинов, где она описывает их среднее по ансамблю скалярное произведение:

Даже в парамагнитной фазе спины скоррелированы, так как если расстояние между ними мало, то между спинами имеет место взаимодействие, которое и приводит к тому, что спины являются скоррелированными, однако их дальнейшему упорядочиванию препятствует тепловое движение. Поэтому оказывается, что корреляции между спинами экспоненциально уменьшаются с ростом расстояния между ними:

Как следствие данной формулы, в таких системах возникает фазовый переход 2-го рода.

В частности, в качестве примера можно рассмотреть корреляционную функцию плотности числа частиц порядка s - это функция вида

называется микроскопической плотностью числа частиц в том смысле, что интегрируя ее по некому объему V, мы можем найти число частиц в нем:

В случае s = 2 корреляционная функция плотности числа частиц называется парной.

Имеет место т. н. принцип ослабления корреляций: многочастичные функции распределения классической системы распадаются на произведения многочастичных функций распределения с меньшим числом аргументов при безграничном увеличении разностей соответствующих аргументов[1], из которого, в частности, следует:

Следовательно, можно написать следующее выражение для двучастичной связной корреляционной функции плотности числа частиц:

Аналогично вводятся связные корреляционные функции плотности более высокого порядка числа частиц:

Для корреляционных функций плотности числа частиц может быть построен производящий функционал:

Тогда корреляционная функция плотности вводится как вариационная производная от производящего функционала:

Корреляционная функция является мерой упорядоченности системы. Она показывает, как микроскопические переменные коррелируют в различные моменты времени в различных точках в среднем.

Физический смысл корреляционной функции плотности числа частиц состоит в том, что она показывает плотность вероятности относительного расположения s частиц. Появление корреляций обусловлено наличием взаимодействия между частицами, за счет которого возникает ближний порядок.

Помимо этого, корреляционные функции в самом общем виде могут использоваться для нахождения прочих флуктуаций, например, флуктуаций числа частиц и температуры.

В физике высоких энергий корреляционная функция есть мера корреляции между некоторыми наблюдаемыми величинами. При изучении адрон-адронных столкновений (например, протон-протонных или ядерно-ядерных) широко используется анализ корреляций между различными наблюдаемыми величинами, например, между поперечными импульсами или множественностями вторичных частиц, рождающихся в результате столкновения.

При изучении подобных процессов принято пользоваться такими переменными, как быстрота или псевдобыстрота. Обычно рассматриваются два интервала (называемых окнами) в пространстве быстрот, расположенных по разные стороны от места столкновения встречных пучков частиц в ускорителе, поэтому возникающие при этом корреляции между наблюдаемыми величинами, которые есть функции быстроты (или псевдобыстроты) часто называют «корреляциями вперед-назад».

Для определенности рассмотрим так называемые «корреляции множественность-множественность» где множественность есть функция, задающая число частиц, имеющих быстроту, принадлежащую некоторому заданному интервалу. В таком случае корреляционная функция вводится как зависимость средней множественности в одном (обычно — правом) быстротном интервале от множественности в другом интервале. В случае линейной корреляционной функции имеем для нее следующее выражение:

Данное предположение вполне согласуется с экспериментальными данными, полученными на различных ускорителях элементарных частиц, в том числе SPS и Fermilab.Величина b из формулы выше носит название коэффициента дальних корреляций. Как следствие формулы выше, можно получить следующую формулу для коэффициента корреляций:

Найденный таким образом коэффициент корреляций позволяет изучать . В частности, отличие коэффициента корреляции от нуля может означать, что изучаемые величины (в данном случае — множественности в переднем и заднем окне) каким-то образом связаны, но при этом возникающие зависимости не обязательно имеют причинно-следственные связи.