Ковариантная производная

Ковариантная производная — обобщение понятия производной для тензорных полей на многообразиях. Понятие ковариантной производной тесно связано с понятием аффинной связности.

Любой вектор может быть представлен как набор чисел, который зависит от выбора базиса. Вектор как геометрический объект не меняется при смене базиса, в то время как компоненты его координатного представления меняются согласно ковариантному преобразованию, зависящему от преобразования базиса. Ковариантная производная должна подчиняться этому же ковариантному преобразованию.

В случае евклидова пространства производная векторного поля зачастую определяется как предел разности двух векторов, определённых в двух близлежащих точках. В этом случае один из векторов можно переместить в начало другого вектора при помощи параллельного переноса, и затем произвести вычитание. Таким образом, простейшим примером ковариантной производной является покомпонентное дифференцирование в ортонормированной системе координат.

В общем же случае необходимо учесть изменение базисных векторов при параллельном переносе. Пример: ковариантная производная, записанная в полярных координатах двухмерного евклидова пространства, содержит дополнительные слагаемые, которые описывают «вращение» самой системы координат при параллельном переносе. В других случаях формула ковариантной производной может включать в себя члены, соответствующие сжатию, растяжению, кручению, переплетению и прочим преобразованиям, которым подвержена произвольная криволинейная система координат.

Возможно также самостоятельное определение ковариантной производной ковекторного поля, не связанное с производной векторных полей. Тогда в общем случае производные скаляров зависят от их происхождения, и говорят о неметричности аффинной связности, связанной с данной ковариантной производной. При данном выше определении неметричность равна нулю.

Для связности без кручения символы Кристоффеля симметричны, и ковариантные производные скалярного поля коммутируют:

В общем случае ковариантные производные тензоров не коммутируют (см. тензор кривизны).

Для тензорного поля с одним верхним, одним нижним индексом ковариантная производная равна