Квантовая теория поля

Ква́нтовая тео́рия по́ля (КТП) — раздел физики, изучающий поведение квантовых систем с бесконечно большим числом степеней свободы — квантовых (или квантованных) полей; является теоретической основой описания микрочастиц, их взаимодействий и превращений. Именно на квантовой теории поля базируется вся физика высоких энергий, физика элементарных частиц и физика конденсированного состояния. Квантовая теория поля в виде Стандартной модели (с добавкой масс нейтрино) сейчас является единственной экспериментально подтверждённой теорией, способной описать и предсказать поведение элементарных частиц при высоких энергиях (то есть при энергиях, существенно превышающих их энергию покоя).

Математический аппарат КТП — гильбертово пространство состояний (пространство Фока) квантового поля и действующие в нём операторы. В отличие от квантовой механики, «частицы» как некие неуничтожимые элементарные объекты в КТП отсутствуют. Вместо этого основные объекты здесь — векторы фоковского пространства, описывающие всевозможные возбуждения квантового поля. Аналогом квантовомеханической волновой функции в КТП является полевой оператор (точнее, «поле» — это операторнозначная обобщённая функция, из которой только после свёртки с основной функцией получается оператор, действующий в гильбертовом пространстве состояний), способный действовать на вакуумный вектор фоковского пространства (см. вакуум) и порождать одночастичные возбуждения квантового поля. Физическим наблюдаемым объектам здесь также соответствуют операторы, составленные из полевых операторов.

Квантовая теория поля возникла в результате работы нескольких поколений физиков-теоретиков на протяжении большей части 20 века. Её развитие началось в 1920-х годах с описания взаимодействий между светом и электронами, что привело к появлению первой квантовой теории поля — квантовой электродинамики. Вскоре обнаружилось серьёзное теоретическое препятствие для построения математически строгой теории, связанное с появлением и сохранением различных бесконечностей в пертурбативных вычислениях. Эта проблема была решена только в 1950-х годах после изобретения процедуры перенормировки. Вторым серьёзным препятствием стала очевидная неспособность КТП описать слабые и сильные взаимодействия, до такой степени, что некоторые теоретики призвали отказаться от теоретико-полевого подхода. Развитие калибровочной теории и завершение Стандартной модели в 1970-х годах привели к возрождению квантовой теории поля.

Несколько иной подход был реализован в 1928 году Дираком. Дирак пытался получить дифференциальное уравнение первого порядка, в котором обеспечено равноправие временной координаты и пространственных координат[1]. Поскольку оператор импульса пропорционален первой производной по координатам, то гамильтониан Дирака должен быть линейным по оператору импульса[2]. С учётом того же релятивистского соотношения энергии и импульса на квадрат этого оператора налагаются ограничения. Соответственно и линейные «коэффициенты» также должны удовлетворять определённому ограничению, а именно: их квадраты должны быть равны единице и они должны быть взаимно антикоммутативны. Таким образом, это точно не могут быть числовые коэффициенты. Однако они могут быть матрицами, причём размерности не менее 4, а «волновая функция» — четырёхкомпонентным объектом, получившим название биспинора. В результате было получено уравнение Дирака, в котором участвуют 4-матрицы Дирака и четырёхкомпонентная «волновая функция». Формально уравнение Дирака записывается в виде, аналогичном уравнению Шрёдингера с гамильтонианом Дирака[2]. Однако данное уравнение (впрочем, как и уравнение Клейна — Гордона) имеет решения с отрицательными энергиями[3]. Данное обстоятельство явилось причиной для предсказания античастиц, что позже и было подтверждено экспериментально (открытие позитрона)[4]. Наличие античастиц есть следствие релятивистского соотношения между энергией и импульсом.

Таким образом, переход к релятивистски инвариантным уравнениям приводит к нестандартным волновым функциям и многочастичным интерпретациям. Одновременно к концу 20-х годов был разработан формализм квантового описания многочастичных систем (включая системы с переменным числом частиц), основанного на операторах рождения и уничтожения частиц. Квантовая теория поля оказывается также основанной на этих операторах (выражается через них).

Релятивистские уравнения Клейна — Гордона и Дирака рассматриваются в квантовой теории поля как уравнения для операторных полевых функций. Соответственно вводится в рассмотрение «новое» гильбертово пространство состояний системы квантовых полей, на которые действуют указанные полевые операторы. Поэтому иногда процедуру квантования полей называют «вторичным квантованием».

В основе квантовой теории поля лежат классическая теория поля, квантовая механика и специальная теория относительности[5]. Ниже приводится краткий обзор этих теорий-предшественников.

В основе самой ранней успешной классической теории поля лежал закон всемирного тяготения Ньютона, несмотря на полное отсутствие концепции полей в его трактате 1687 года Philosophi Naturalis Principia Mathematica. Сила тяжести, описанная Ньютоном, представляет собой «действие на расстоянии», и её влияние на далёкие объекты происходит мгновенно, независимо от расстояния. Однако в переписке с Ричардом Бентли Ньютон заявил, что «немыслимо, чтобы неодушевленная грубая материя без посредничества чего-то ещё, что не является материальным, действовала бы на другую материю и влияла на неё без взаимного контакта»[6]. Только в 18 веке физики-теоретики открыли удобное описание гравитации на основе полей — числовую величину (вектор), присвоенную каждой точке пространства, указывающую действие гравитации на любую пробную частицу в этой точке. Однако это считалось просто математическим трюком[7].

Понятие о полях обрело более формальное описание с развитием электромагнетизма в 19 веке. Майкл Фарадей ввёл английский термин «поле» в 1845 году. Он представил поля как свойства пространства (даже если оно лишено материи), обладающее физическими эффектами. Фарадей выступал против «действия на расстоянии» и предполагал, что взаимодействия между объектами происходят через заполняющие пространство «силовые линии». Это описание полей сохранилось по сей день[6][8].

Теория классического электромагнетизма приобрела завершённую форму в 1864 году в виде уравнений Максвелла, которые описывали взаимосвязь между электрическим полем, магнитным полем, электрическим током и электрическим зарядом. Уравнения Максвелла подразумевали существование электромагнитных волн, явления, при котором электрические и магнитные поля распространяются из одной точки пространства в другую с конечной скоростью, которая оказалась скоростью света. Таким образом, действие на расстоянии было окончательно опровергнуто[6].

Несмотря на огромный успех классического электромагнетизма, он не смог объяснить ни дискретных линий в атомных спектрах, ни распределение излучения чёрного тела на разных длинах волн[9]. Исследование Максом Планком излучения абсолютно чёрного тела положило начало квантовой механике. Он рассматривал атомы, которые поглощают и излучают электромагнитное излучение, как крошечные осцилляторы, энергия которых может принимать только серию дискретных, а не непрерывных значений. Сегодня они известны как квантовые гармонические осцилляторы. Этот процесс ограничения энергии дискретными значениями называется квантованием[10]. Основываясь на этой идее, Альберт Эйнштейн в 1905 году предложил объяснение фотоэлектрического эффекта, согласно которому свет состоит из отдельных пакетов энергии, называемых фотонами (квантами света). Это означало, что электромагнитное излучение, описываемое в виде волн в классическом электромагнитном поле, также существует в форме частиц[9].

В 1913 году Нильс Бор представил модель атомной структуры, в которой электроны внутри атомов могут принимать только серию дискретных, а не непрерывных энергий. Это ещё один пример квантования. Модель Бора успешно объяснила дискретную природу спектральных линий атомов. В 1924 году Луи де Бройль выдвинул гипотезу дуальности волна-частица, согласно которой микроскопические частицы проявляют как волнообразные, так и частицы-подобные свойства при различных обстоятельствах[9]. Объединив эти различные идеи, между 1925 и 1926 годами была сформулирована новая научная теория, квантовая механика, существенный вклад в которую внесли Макс Планк, Луи де Бройль, Вернер Гейзенберг, Макс Борн, Эрвин Шрёдингер, Поль Дирак и Вольфганга Паули[7].

В том же году, когда была опубликована статья о фотоэлектрическом эффекте, Эйнштейн опубликовал свою специальную теорию относительности, пересекающуюся с теорией электромагнетизма Максвелла. Новые правила, называемые преобразованием Лоренца, описывали изменение временных и пространственных координат событий при изменении скорости наблюдателя, и различие между временем и пространством было размыто[7]:19. Он предположил, что все физические законы должны быть одинаковыми для наблюдателей, движущихся при различных скоростях, то есть, что физические законы инвариантны относительно преобразований Лоренца.

Остались две трудности. С экспериментальной точки зрения, уравнение Шрёдингера, лежащее в основании квантовой механики, могло объяснить вынужденное излучение атомов, когда электрон испускает новый фотон под действием внешнего электромагнитного поля, но оно не могло объяснить спонтанное излучение, при котором энергия электрона спонтанно уменьшается и происходит излучение фотона даже без действия внешнего электромагнитного поля. Теоретически уравнение Шредингера не могло описывать фотоны и несовместимо с принципами специальной теории относительности — оно рассматривает время как обычное число, одновременно представляя пространственные координаты линейными операторами[9].

Квантовая теория поля началась с изучения электромагнитных взаимодействий, поскольку электромагнитное поле было единственным известным классическим полем в 1920-х годах[11]:1.

Благодаря работам Борна, Гейзенберга и Паскуаля Йордана в 1925—1926 годах была разработана квантовая теория, описывающая свободное электромагнитное поле (не взаимодействующего с материей), используя канонического квантования, и рассматривая электромагнитное поле как набор квантовых гармонических осцилляторов[11]. Если не учитывать взаимодействия такая теория ещё не в состоянии сделать количественные предсказания о реальном мире[7].

В своей основополагающей статье 1927 года «Квантовая теория испускания и поглощения излучения» (англ. The quantum theory of the emission and absorption of radiation) Дирак ввёл термин квантовая электродинамика (КЭД), теория, которая добавляет к условиям, описывающим свободное электромагнитное поле, дополнительный член взаимодействия между плотностью электрического тока и электромагнитным вектором. потенциал. Используя теорию возмущений первого порядка, он успешно объяснил явление спонтанного излучения. Согласно принципу неопределенности, квантовые гармонические осцилляторы не могут оставаться неподвижными, но они обладают ненулевым минимумом энергии и всегда должны колебаться, даже в состоянии с самой низкой энергией (в основном состоянии). Следовательно, даже в идеальном вакууме остаётся колеблющееся электромагнитное поле с нулевой энергией. Именно такие квантовые флуктуации электромагнитных полей в вакууме «стимулирует» спонтанное излучение электронов в атомах. Теория Дирака оказалась чрезвычайно успешной в объяснении как испускания, так и поглощения излучения атомами. Применяя теорию возмущений второго порядка, он смог учесть рассеяние фотонов и объяснил другие квантовые эффекты, такие как резонансная флуоресценция, нерелятивистское комптоновское рассеяние. Тем не менее, применение теории возмущений более высокого порядка столкнулось с бесконечностями в вычислениях[9].

В 1928 году Дирак записал волновое уравнение, описывающее релятивистские электроны — уравнение Дирака. Оно имело важные следствия: спин электрона равен 1/2; g-фактор электрона равен 2. Это привело к правильной формуле Зоммерфельда для тонкой структуры атома водорода; и уравнение Дирака можно использовать для вывода формулы Клейна — Нисины, описывающей релятивистское комптоновское рассеяние. Хотя результаты согласовались с теорией, но также в теории предполагалось существование состояний с отрицательной энергией, которые могли бы сделать атомы нестабильными, поскольку они, в этом случае, всегда могли распадаться на состояния с более низкой энергией с излучением[9].

В то время преобладало мнение, что мир состоит из двух очень разных ингредиентов: материальных частиц (таких как электроны) и квантовых полей (таких как фотоны). Материальные частицы считались вечными, а их физическое состояние описывалось вероятностями нахождения каждой частицы в любой заданной области пространства или диапазоне скоростей. С другой стороны, фотоны считались просто возбуждёнными состояниями лежащего в основе квантованного электромагнитного поля и могли свободно рождаться или уничтожаться. Между 1928 и 1930 годами Йордан, Юджин Вигнер, Гейзенберг, Паули и Энрико Ферми обнаружили, что материальные частицы также можно рассматривать как возбуждённые состояния квантовых полей. Как фотоны являются возбуждёнными состояниями квантованного электромагнитного поля, так и каждому типу частиц соответствует своё квантовое поле: электронное поле, протонное поле и так далее. Имея достаточно энергии, теперь можно было бы создавать материальные частицы. Основываясь на этой идее, Ферми в 1932 году предложил объяснение бета-распада, известное как взаимодействие Ферми. Ядра атомов не содержат электронов сами по себе, но в процессе распада электрон создаётся из окружающего электронного поля, аналогично фотону, рождённому из окружающего электромагнитного поля при радиационном распаде возбуждённого атома[7].

В 1929 году Дирак и другие поняли, что состояния с отрицательной энергией, появляющиеся из решений уравнения Дирака, можно интерпретировать как частицы с той же массой, что и электроны, но с противоположным электрическим зарядом. Это не только обеспечило стабильность атомов, но и стало первым предсказанием существования антивещества. Действительно, позитроны были обнаружены в 1932 году Карлом Дэвидом Андерсоном в космических лучах. При наличии достаточного количества энергии, например, путём поглощения фотона, можно создать электрон-позитронную пару, процесс, называемый рождением пары; обратный процесс, аннигиляция, также может происходить с испусканием фотона. Это показало, что количество частиц не обязательно остаётся фиксированным во время взаимодействия. Однако исторически позитроны сначала рассматривались как «дырки» в бесконечном электронном море, а не как частицы нового типа, и эта теория получила название дырочной теории Дирака[9][7]. КТП естественным образом включает античастицы в свой формализм[7].

Роберт Оппенгеймер показал в 1930 году, что пертурбативные вычисления в более высоких порядках КЭД всегда приводят к бесконечным величинам, например для собственно-энергетической части электрона и нулевой энергии вакуума для электронного и фотонного полей[9]. Это означало, что существующие вычислительные методы не могли должным образом справиться с взаимодействиями, в которых принимали участие фотоны с чрезвычайно высокими импульсами[7]. Проблема нашла решение 20 лет спустя, когда был разработан системный подход к устранению таких бесконечностей.

Между 1934 и 1938 годами Эрнст Штюкельберг опубликовал серию статей, в которых была представлена релятивистски инвариантная формулировка КТП. В 1947 году Штюкельберг также независимо разработал полную процедуру перенормировки для устранения расхоимостей. Эти достижения не были поняты и признаны теоретическим сообществом[9].

Столкнувшись с этими бесконечностями, Джон Арчибальд Уиллер и Гейзенберг предложили в 1937 и 1943 годах соответственно заменить проблематичную КТП так называемой теорией S-матриц. Поскольку конкретные детали микроскопических взаимодействий недоступны для наблюдений, теория должна пытаться описать только отношения между небольшим количеством наблюдаемых (например, энергией атома) во взаимодействии, а не заниматься микроскопическими деталями взаимодействия. В 1945 году Ричард Фейнман и Уиллер смело предложили полностью отказаться от КТП и предложили действие на расстоянии в качестве механизма взаимодействия частиц[7]:26[12].

В 1947 году Уиллис Лэмб и Роберт Ретерфорд измерили малую разницу в энергетических уровнях 2S1/2 и 2P1/2 атома водорода, также названную лэмбовским сдвигом. Пренебрегая вкладом фотонов, энергия которых превышает массу электрона, Ганс Бете успешно оценил численное значение этой разницы[9][7]. Впоследствии Нормпн Кролл, Лэмб, Джеймс Френч, и Виктор Вайскопф использовали другой метод для вывод, в котором бесконечности взаимно сокращались и получалась конечная величина. Однако применённый метод был громоздким и ненадёжным, и его нельзя было обобщить на другие вычисления[9][13].

Прорыв в конечном итоге произошёл примерно в 1950 году, когда Джулиан Швингер, Ричард Фейнман, Фриман Дайсон и Шиничиро Томонага разработали более приемлемый метод устранения бесконечностей. Его основная идея состоит в замене вычисленных значений массы и заряда электрона, какими бы бесконечными они ни были, их конечными экспериментальными значениями. Эта систематическая вычислительная процедура известна как перенормировка и может применяться к произвольному порядку в теории возмущений[9][14]. Как сказал Томонага в своей Нобелевской лекции:

Поскольку эти части модифицированной массы и заряда из-за полевых вкладов [становятся бесконечными], их невозможно вычислить с помощью теории. Однако масса и заряд, наблюдаемые в экспериментах, являются не исходной массой и зарядом, а массой и зарядом, изменёнными полевыми вкладами, и они конечны. С другой стороны, масса и заряд, фигурирующие в теории, являются… значениями, модифицированными полевыми вкладами. Поскольку это так, и, в частности, поскольку теория не может вычислить модифицированные массу и заряд, мы можем принять процедуру феноменологической подстановки их экспериментальных значений… Эта процедура называется перенормировкой массы и заряда … После долгих и кропотливых вычислений, менее искусных, чем у Швингера, мы получили результат … который согласуется с американцами[15].

Применяя процедуры перенормировки, были окончательно проведены расчёты, объясняющие аномальный магнитный момент электрона (отклонение g-фактора электрона от 2) и поляризацию вакуума. Эти результаты в значительной степени совпадали с экспериментальными измерениями, что знаменовало конец «войны с бесконечностями»[9].

В то же время Фейнман ввёл в обиход и диаграммы Фейнмана[11]. Последние используются для визуальных вычислений в теории возмущений. Каждую диаграмму можно интерпретировать как пути частиц и их взаимодействия, причём каждой вершине и линии ставится в соответствие математическое выражение, а произведение этих выражений даёт амплитуду рассеяния процесса, представленного диаграммой[5].

Именно с изобретением процедуры перенормировки и диаграммной техники Фейнмана КТП получила законченную теоретическую основу[11]:2.

Учитывая огромный успех КЭД, многие теоретики в течение нескольких лет после 1949 года полагали, что КТП вскоре сможет обеспечить понимание всех микроскопических явлений, а не только взаимодействий между фотонами, электронами и позитронами. Вопреки этому оптимизму, КТП вступила в очередной период депрессии, который длился почти два десятилетия[7]:30/

Первым препятствием оказалось ограниченная применимость процедуры перенормировки. В пертурбативных вычислениях в КЭД все бесконечные величины можно исключить путём переопределения небольшого (конечного) числа физических величин (а именно массы и заряда электрона). Дайсон доказал в 1949 году, что это возможно только для небольшого класса теорий, называемых «перенормируемыми теориями», примером которых является КЭД. Однако большинство теорий, включая теорию слабого взаимодействия Ферми, «неперенормируемы». Любое пертурбативное вычисление в этих теориях за пределами первого порядка привело бы к бесконечностям, которые нельзя было бы избегать путём переопределения конечного числа физических параметров теории[7]:30.

Вторая серьёзная проблема возникает из ограниченной применимости метода диаграмм Фейнмана, который основан на разложении в ряд в теории возмущений. Для сходимости рядов и для существования хороших приближений только в приближении низкого порядка, константа связи, по которому происходит разложение, должна быть достаточно малым числом. Константа связи в КЭД — это постоянная тонкой структуры α ≈ 1/137, которая достаточно мала, чтобы в реалистичных расчётах учитывать только простейшие диаграммы Фейнмана низшего порядка. Напротив, константа связи при сильном взаимодействии примерно равна единице, что делает сложные диаграммы Фейнмана более высокого порядка столь же важными, как и простые. Таким образом, не оказалось возможности получить надёжные количественные предсказания в задачах с сильноым взаимодействием при использованием пертурбативных методов КТП[7].

Когда возникли эти трудности, многие теоретики начали отворачиваться от КТП. Одни сосредоточились на принципах симметрии и законах сохранения, другие взяли старую теорию S-матрицы Уиллера и Гейзенберга. КТП использовалась эвристически как руководящий принцип, но не как основа для количественных расчётов[7]:31.

Швингер, однако, пошёл другим путем. Более десяти лет он и его ученики были почти единственными учёными последовательно продвигающими теорию поля, но в 1966 году он нашёл способ обойти проблему бесконечностей с помощью нового метода, который он назвал теорией источников[16]. Развитие физики пионов, в которой новая точка зрения наиболее успешно применялась, убедило его в огромных преимуществах математической простоты и концептуальной ясности, которые даёт её использование[17].

В теории источников нет расхождений и перенормировок. Её можно рассматривать как вычислительный инструмент теории поля, но он носит более общий характер. Используя теорию источников, Швингер смог вычислить аномальный магнитный момент электрона, что он и сделал в 1947 году, но на этот раз без «отвлекающих замечаний» о бесконечных величинах.

Швингер также применил теорию источников к своей КТП теории гравитации и смог воспроизвести все четыре классических результата Эйнштейна: гравитационное красное смещение, отклонение и замедление света под действием силы тяжести и прецессию перигелия Меркурия[18]. Пренебрежение физическим сообществом теории источников стало большим разочарованием для Швингера:

Непонимание этих фактов другими было удручающим, но понятным. —Швингер[17].

В 1954 году Ян Чен-Нин и Роберт Миллс обобщили локальную симметрию КЭД, что привело к созданию неабелевых калибровочных теорий (также известным как теории Янга — Миллса), основанных на более сложных локальных группах симметрии[19]. В КЭД (электрически) заряженные частицы взаимодействуют посредством обмена фотонами, тогда как в неабелевой калибровочной теории частицы, несущие новый тип «заряда», взаимодействуют посредством обмена безмассовыми калибровочными бозонами. В отличие от фотонов, эти калибровочные бозоны сами несут заряд[7]:32[20].

Шелдон Глэшоу разработал неабелеву калибровочную теорию, объединившую электромагнитное и слабое взаимодействия в 1960 году. В 1964 году Абдус Салам и Джон Клайв Уорд пришли к той же теории другим путём. Тем не менее эта теорию была неперенормируемой[21].

Питер Хиггс, Роберт Браут, Франсуа Энглерт, Джеральд Гуральник, Карл Хаген и Том Киббл в своих знаменитых статьях Physical Review Letters предложили, что калибровочная симметрия в теориях Янга — Миллса нарушается с помощью механизма, называемого спонтанным нарушением симметрии, благодаря которому калибровочные бозоны могут приобретать массу[22].

Объединив более раннюю теорию Глэшоу, Салама и Уорда с идеей спонтанного нарушения симметрии, Стивен Вайнберг в 1967 году создал теорию, описывающую электрослабые взаимодействия между всеми лептонами и эффекты бозона Хиггса. Его теория была вначале проигнорирована[21][19], пока интерес к ней не вернул в 1971 году Герард т’Хоофта, который доказал перенормируемость неабелевых калибровочных теорий. Теория электрослабового взаимодействия Вайнберга и Салама была обобщена для включения кварков в 1970 году Глэшоу, Джоном Илиопулосом и Лучано Майани, что ознаменовало её завершение[21].

Харальд Фрич, Мюррей Гелл-Манн и Генрих Лойтвайлер в 1971 году обнаружили, что некоторые явления, связанные с сильным взаимодействием, также могут быть объяснены в рамках неабелевой калибровочной теории. Так появилась квантовая хромодинамика (КХД). В 1973 году Дейвид Гросс, Фрэнк Вильчек и Хью Дейвид Политцер показали, что неабелевы калибровочные теории «асимптотически свободны», когда при перенормировке константа связи сильного взаимодействия уменьшается с увеличением энергии взаимодействия. Подобные открытия были сделаны несколько раз в прошлом, но они оказались незамечены[23]. Таким образом, по крайней мере, при высоких энергиях, константа связи в КХД становится достаточно малой, чтобы гарантировать разложение в ряд теории возмущений, что приводит возможности получения количественных оценок для сильного взаимодействия[7]:32.

Эти теоретические открытия привели к возрождению КТП. Полная теория, включающая теорию электрослабого взаимодействия и хромодинамику, сегодня называется Стандартной моделью элементарных частиц[24]. Стандартная модель успешно описывает все фундаментальные взаимодействия, кроме гравитации, а её многочисленные предсказания получили замечательное экспериментальное подтверждение в последующие десятилетия[11]:3. Существование бозона Хиггса, который занимает центральное место в механизме спонтанного нарушения симметрии, было окончательно подтверждено в 2012 году экспериментах в ЦЕРНе, подводя итог полной проверке всех составляющих стандартной модели.

В 1970-х годах появились непертурбативные методы в неабелевых калибровочных теориях. Монополь 'т Хоофта — Полякова был открыт теоретически 'т Хоофтом и Александром Поляковым, трубки потока Хольгером Беком Нильсеном и Полом Олесеном, инстантоны Поляковым и соавторами. Исследование этих объектов недоступно с помощью теории возмущений[11]:4.

Суперсимметрия также появилась в то же время. Первая суперсимметричная КТП в четырёх измерениях была построена Юрием Гольфандом и Евгением Лихтманом в 1970 году, но их результат не вызвал широкого интереса из-за «железного занавеса». Суперсимметрия получила широкое распространение в теоретическом сообществе только после работы Юлиуса Весса и Бруно Зумина в 1973 году[11]:7.

Среди четырёх фундаментальных взаимодействий гравитация остаётся единственным, которому не хватает последовательного описания в рамках КТП. Различные попытки теории квантовой гравитации привела к развитию теории струн[11], сам тип двумерной КТП с конформной симметрией[25]. Жоэль Шерк и Джон Шварц впервые предложили в 1974 году, что теория струн может быть квантовой теорией гравитации[26].

Хотя квантовая теория поля возникла в результате изучения взаимодействий между элементарными частицами, она успешно применялась к другим физическим системам, особенно к многочастичным системам в физике конденсированного состояния.

Исторически механизм спонтанного нарушения симметрии Хиггса был результатом применения Йохиро Намбу теории сверхпроводников к элементарным частицам, в то время как концепция перенормировки возникла благодаря исследованиям фазовых переходов второго рода в веществе[27].

Вскоре после введения фотонов Эйнштейн выполнил процедуру квантования колебаний в кристалле, что привело к появлению первой квазичастицы в твёрдом теле — фонона. Лев Ландау утверждал, что низкоэнергетические возбуждения во многих системах конденсированной материи можно описывать в терминах взаимодействий между набором квазичастиц. Диаграммный метод КТП Фейнмана, естественно, хорошо подходил для анализа различных явлений в системах конденсированных сред[28].

Калибровочная теория используется для описания квантования магнитного потока в сверхпроводниках, удельного сопротивления в квантовом эффекте Холла, а также связи между частотой и напряжением при нестационарном эффекте Джозефсона для переменного тока.[28]

то есть действие в теории поля есть четырёхмерный интеграл от лагранжевой плотности по четырёхмерному пространству-времени. Поэтому в теории поля лагранжианом называют обычно лагранжеву плотность[29].

Принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона) означает, что реальное изменение состояния системы происходит таким образом, чтобы действие было стационарным (вариация действия равна нулю). Этот принцип позволяет получить полевые уравнения движения — уравнения Эйлера — Лагранжа[30][29]:

Лагранжиан системы невзаимодействующих (свободных) полей есть просто сумма лагранжианов отдельных полей. Уравнения движения для системы свободных полей — это совокупность уравнений движения отдельных полей.

Введение лагранжиана взаимодействия приводит к неоднородности и нелинейности уравнений движения. Лагранжианы взаимодействия обычно являются полиномиальными функциями участвующих полей (степени не ниже третьей), умноженные на некоторую числовую константу — так называемую константу связи. Лагранжиан взаимодействия может быть пропорционален третьей или четвёртой степени самой полевой функции, произведению различных полевых функций (общая степень должна быть не ниже третьей).

Соотношения с участием скобок Пуассона обычно и являются основой для квантования полей, когда полевые функции заменяются соответствующими операторами, а скобки Пуассона — на коммутатор операторов.

Симметриями в квантовой теории поля называются преобразования координат и (или) полевых функций, относительно которых инвариантны уравнения движения, а значит, инвариантно действие. Сами преобразования при этом образуют группу. Симметрии называются глобальными, если соответствующие преобразования не зависят от 4-координат. В противном случае говорят о локальных симметриях. Симметрии могут быть дискретными или непрерывными. В последнем случае группа преобразований является непрерывной (топологической), то есть в группе задана топология, относительно которой групповые операции непрерывны. В квантовой теории поля однако обычно используется более узкий класс групп — группы Ли, в которых введена не только топология, но и структура дифференцируемого многообразия. Элементы таких групп можно представить как дифференцируемые (голоморфные или аналитические) функции конечного числа параметров. Группы преобразований обычно рассматриваются в некотором представлении — элементам групп соответствуют операторные (матричные) функции параметров.

Ниже в таблице приведены общие выражения для нётеровских токов и зарядов для основных глобальных симметрий и соответствующих законов сохранения.

Ниже в таблице приведены описание и основные характеристики простейших полей, являющихся базовыми при построении реальных квантово-полевых теорий — скалярные, векторные и спинорные поля.

то есть данный лагранжиан включает лагранжиан свободного спинорного поля Дирака, калибровочного (электромагнитного) поля и лагранжиан взаимодействия этих полей. Аналогичным образом можно написать калибровочно инвариантный лагранжиан комплексного скалярного поля — лагранжиан скалярной КЭД.

Указанный подход можно обобщить на случай других локальных групп симметрии. В общем случае это приводит к появлению так называемых калибровочных полей Янга-Миллса. Ковариантная производная в этом случае имеет вид:

Для решения уравнений движения можно перейти к так называемому импульсному представлению с помощью преобразования Фурье:

Нахождение решения уравнений движения можно показать на примере уравнения Клейна — Гордона.

Переходя к импульсному представлению, уравнение Клейна — Гордона для Фурье-образа полевой функции будет иметь вид:

Наличие дельта-функции под знаком интеграла означает, что по существу интегрирование осуществляется не по всему 4-мерному импульсному пространству, а лишь по двум полам трёхмерного гиперболоида, определяемого уравнением массовой поверхности. Два знака перед квадратным корнем определяют два независимых решения, с помощью которых полевая функция разделяется на две компоненты (каждая в отдельности релятивистки инвариантна)

Используя импульсное представление полевых функций, можно получить и остальные характеристики поля в импульсном представлении. Покажем это на примере 4-импульса для того же вещественного скалярного поля Клейна — Гордона.

Аналогично гамильтониану можно получить аналогичное выражение и для других компонент 4-вектора импульса. В итоге получаем общее выражение для 4-импульса:

Первое выражение оказывается нужным при квантовании — когда порядок перемножения играет роль в силу некоммутативности операторов в общем случае.

Квантование означает переход от полей (полевых функций) к соответствующим операторам (операторнозначным функциям), действующим на вектор (амплитуду) состояния Φ. По аналогии с обычной квантовой механикой вектор состояния полностью характеризует физическое состояние системы квантованных волновых полей. Вектор состояния — это вектор в некотором линейном пространстве, которое называется пространством Фока.

Основной постулат квантования волновых полей заключается в том, что операторы динамических переменных выражаются через операторы полей таким же образом, как и классическое выражение этих величин через полевые функции (с учётом порядка перемножения, поскольку умножение операторов в общем случае некоммутативно, в отличие от произведения обычных функций). Скобка Пуассона (см. гамильтонов формализм) заменяется на коммутатор соответствующих операторов. В частности, классический гамильтонов формализм трансформируется в квантовый следующим образом:

Это так называемые коммутационные соотношения Бозе — Эйнштейна, основанные на обычном коммутаторе — разность «прямого» и «обратного» произведения операторов

Коммутационные соотношения Ферми — Дирака основаны на антикоммутаторе — сумма «прямого» и «обратного» произведения операторов:

Кванты первых полей подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна и называются бозонами, а кванты вторых подчиняются статистике Ферми — Дирака и называются фермионами. Квантование полей по Бозе — Эйнштейну оказывается непротиворечивым для частиц с целым спином, а для частиц с полуцелым спином непротиворечивым оказывается квантование по Ферми — Дираку. Таким образом, фермионы являются частицами с полуцелым спином, а бозоны — с целым.

Из коммутационных соотношений для полевой функции (обобщённой координаты) и соответствующего обобщённого импульса можно получить коммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения квантов

Поле можно представить в виде бесконечного множества полевых гармонических осцилляторов. Это можно показать на примере поля Клейна — Гордона. Трёхмерный (по трём пространственным координатам) Фурье-образ полевой функции удовлетворяет следующему уравнению (Фурье-образ уравнения Клейна — Гордона)

Такое представление называют представлением чисел заполнения. Суть данного представления заключается в том, чтобы вместо задания вектора состояния как функции от координат (координатное представление) или как функцию от импульсов (импульсное представление), состояние системы характеризуется номером возбуждённого состояния — числом заполнения.

Произвольные состояния задаются как возбуждения вакуума следующего вида:

Нормальная форма, очевидно, связана с обычной через коммутатор операторов, а именно «обычная» форма равна нормальной форме плюс (анти)коммутатор соответствующих операторов («неправильно» упорядоченных). Например,

В этой записи лишь одно слагаемое записано не в нормальной форме, соответственно можно записать

Тем самым, вакуумное среднее от исходного произведения операторов по существу будет определяться только последним коммутатором.

Хронологическое произведение определяется как упорядоченное по временной переменной (нулевой компоненте 4-координат) произведение:

Теорема Вика обобщает данное представление на случай произвольного количества множителей:

Определим явное выражение для вакуумного среднего от произведения полевых операторов скалярного поля Клейна — Гордона с учётом сказанного выше

Коммутаторы полевых операторов с операторами рождения и уничтожения вывести легче. Приведём без вывода эти коммутационные соотношения.

Рассмотрим вакуумное среднее от хронологического произведения двух полевых операторов скалярного поля:

Пропагаторы базовых полей (ненулевыми являются только свертки одинаковых полей противоположных зарядов)

Корреляционные функции в теории взаимодействий можно записать в виде ряда возмущений. Каждый член в этой серии является произведением пропагаторов Фейнмана для свободных частиц и может быть визуально представлен диаграммой Фейнмана. Например, λ1 в двухточечной корреляционной функции в теории ϕ4

Чтобы вычислить n-точечную корреляционную функцию до k -го порядка, перечисляют все допустимые диаграммы Фейнмана с n-внешними точками и k или меньшим количеством вершин, а затем используют правила Фейнмана, чтобы получить выражение для каждого члена. Точнее,

равна сумме (соответствующих выражений) всех связанных диаграмм с n внешними точками. (Связанные диаграммы — это такие, в которых каждая вершина соединена с внешней точкой линиями. Компоненты, которые полностью отсоединены от внешних линий, иногда называют «вакуумными пузырями».) В ϕ4 каждая вершина должна иметь четыре ножки. [5]

В реальных приложениях амплитуду рассеяния определённого взаимодействия или скорость распада частицы можно вычислить из S-матрицы, которую находят с помощью метода диаграмм Фейнмана[5].

Диаграммы Фейнмана, лишённые «петель», называются древовидными диаграммами, которые описывают процессы взаимодействия низшего порядка; диаграммы, содержащие n петель, называются n-петлевыми диаграммами, которые описывают вклады более высокого порядка или радиационные поправки во взаимодействие[33]. Линии, конечные точки которых являются вершинами, можно рассматривать как распространение виртуальных частиц[5].

Правила Фейнмана можно использовать для прямой оценки древовидных диаграмм. Однако наивное вычисление петлевых диаграмм, подобных показанной выше, приведёт к расходящимся интегралам по импульсам, то есть почти все члены в пертурбативном разложении бесконечны. Процедура перенормировки — это систематический процесс удаления таких бесконечностей.

Параметры, входящие в лагранжиан, такие как масса m и константа связи λ, не имеют физического смысла — m, λ и напряжённость поля ϕ не являются экспериментально измеряемыми величинами и упоминаются здесь как голая масса, голая константа связи, и голое поле. Физическая масса и константа связи измеряются в некотором процессе взаимодействия и обычно отличаются от голых величин. При вычислении физических величин в этом процессе взаимодействия ограничивают область интегрирования расходящихся интегралов по импульсам до значения ниже некоторого порогового значения импульса Λ, чтобы получить выражения для физических величин, а затем перейти к пределу Λ → ∞. Это пример регуляризации — класса методов для устранения особенностей в КТП, где Λ — регулятор.

Подход, проиллюстрированный выше, называется голой теорией возмущений, поскольку в расчётах используются только голые величины, такие как масса и константа связи. Другой подход, называемый перенормированной теорией возмущений, заключается в использовании физически значимых величин с самого начала. В случае теории ϕ4 сначала переопределяется напряжённость поля:

где ϕ — голое поле, ϕr — перенормированное поле, а Z — постоянная, которую необходимо определить. Плотность лагранжиана имеет вид:

где mr и λr — экспериментально измеряемые перенормированная масса и константа связи, соответственно, и

— константы, которые предстоит определить. Первые три члена представляют собой ϕ4 записанную в терминах перенормированных величин, в то время как последние три члена называются «контрчлены». Поскольку лагранжиан теперь содержит больше слагаемых, диаграммы Фейнмана должны включать дополнительные элементы, каждый со своими собственными правилами Фейнмана. Процедура описывается следующим образом. Сначала выберается схему регуляризации (например, введённую выше ограничивающую регуляризацию или размерную регуляризацию). Вычисляются диаграммы Фейнмана, в которых расходящиеся члены будут зависеть от регулятора Λ. Затем определяют δZ, δm и δλ, чтобы диаграммы Фейнмана для контрчленов в точности сокращали расходящиеся члены в нормальных диаграммах Фейнмана, когда берётся предел Λ → ∞. Таким образом получаются конечные величины[5].

Исключить все бесконечности для получения конечного результата можно только в перенормируемых теориях, тогда как в неперенормируемых теориях бесконечности нельзя удалить путём переопределения небольшого числа параметров. Стандартная модель элементарных частиц является ренормалиуемой КТП[5]:719–727, в то время как квантовая гравитация не является ренормалиуемой[5]:798[33].

Ренормализационная группа, разработанная Кеннетом Уилсоном, представляет собой математический аппарат, используемый для изучения изменений физических параметров (коэффициентов в лагранжиане), когда система рассматривается на различных масштабах[5]:393. Способ, в котором каждый параметр изменяется в зависимости от масштаба описывается её β-функцией[5]:417. Корреляционные функции, которые лежат в основе количественных предсказаний, изменябтся в зависимости от масштаба в соответствии с уравнением ренормгруппы[5]:410-411.

Например, константа связи в КЭД, а именно элементарный заряд e, имеет следующую β-функцию:

где Λ — масштаб энергии, в котором выполняется измерение e. Это дифференциальное уравнение означает, что наблюдаемый элементарный заряд увеличивается с увеличением масштаба. Перенормированная константа связи, которая изменяется в зависимости от масштаба энергии, также называется бегущей константой связи[5].

Константа связи g в квантовой хромодинамике, неабелевой калибровочной теории, основанной на группе симметрии SU(3), обладает следующей β-функцией:

где Nf — количество ароматов кварка. В случае, когда Nf ≤ 16 (для Стандартной модели Nf = 6), константа связи g уменьшается с увеличением масштаба энергии. Следовательно, в то время как сильное взаимодействие является сильным при низких энергиях, оно становится очень слабым при высоких энергиях — явление, известное как асимптотическая свобода[5].

Конформные теории поля (КТП) — это специальные КТП, допускающие конформную симметрию. Они нечувствительны к изменениям масштаба, так как все их константы связи имеют исчезающе малую β-функцию. Однако обратное неверно — исчезновение всех β-функций не означает конформной симметрии теории[34]. Примеры включают теорию струн[25] и N = 4 суперсимметричную теорию Янга — Миллса.

Согласно картине Уилсона, каждая КТП в основе ограничена по энергии Λ, то есть что теория больше не справедлива при энергиях выше чем Λ, и все степени свободы выше шкалы Λ не должны учитываться. Например, граница может быть обратной величиной к атомному расстоянию в конденсированной среде, а в физике элементарных частиц она может быть связана с фундаментальной «зернистостью» пространства-времени, вызванной квантовыми флуктуациями гравитации. Масштаб границы в теориях взаимодействия частиц лежит далеко за пределами текущих экспериментов. Даже если теория была бы очень сложной на этом масштабе, до тех пор, пока её связи достаточно слабы, она должна описываться при низких энергиях с помощью перенормируемой эффективной теории поля[5]. Разница между перенормируемой и неперенормируемой теориями является то, что первые нечувствительны к деталям взаимодействий при высоких энергиях, в то время как последние не зависят от них[11]. Согласно этой точке зрения, неперенормируемые теории следует рассматривать как низкоэнергетические эффективные теории какой-то более фундаментальной теории. Неспособность избежать ограничения Λ из расчётов в такой теории просто указывает на то, что новые физические явления появляются в масштабах больше Λ, где необходима новая теория[33].

Переходя к пределу N → ∞ указанное произведение интегралов становится функциональным интегралом[5][33]:

где L — лагранжиан, содержащий ϕ и его производные по пространственным и временным координатам, полученным из гамильтониана H с помощью преобразования Лежандра. Начальные и конечные условия для интеграла по траекториям соответственно равны

Другими словами, полная амплитуда — это сумма по амплитуде всех возможных траекторий между начальным и конечным состояниями, где амплитуда пути задаётся экспонентой в подынтегральном выражении.

Основана на предположении о нелокальности взаимодействий. Взаимодействия рассматриваемых квантовых полей происходят не в точке, а в области пространства. Это предположение позволяет избежать ультрафиолетовых расходимостей.

Квантовая теория поля может быть обобщена на случай слабоискривлённого пространства-времени[35]. Это позволяет учесть некоторые существенные гравитационные эффекты, хотя и не является последовательной теорией квантовой гравитации. Квантовая теория поля в искривлённом пространстве-времени справедлива в области, где искривление пространства-времени мало по сравнению с планковскими масштабами.

Корреляционные функции и физические предсказания КТП зависят от метрики пространства-времени gμν. Для специального класса КТП, называемыми топологическими квантовыми теориями поля (ТКТП), все корреляционные функции не зависят от непрерывных изменений в метрике пространства-времени. КТП в искривлённом пространстве-времени обычно изменяются в соответствии с геометрией (локальной структурой) пространства-времени, в то время как ТКТП инвариантны относительно диффеоморфизмов пространства-времени, но чувствительны к топологии (глобальной структуре) пространства-времени. Это означает, что все результаты вычислений ТКТП являются топологическими инвариантами основного пространства-времени. Теория Черна — Саймонса является примером ТКТП и использовалась для построения моделей квантовой гравитации[36]. Применения ТКТП включают дробный квантовый эффект Холла и топологические квантовые компьютеры. Траектория мировой линии частиц с дробным заряддом (известных как энионы) может формировать конфигурацию связи в пространстве-времени[37], которая связывает брейдинг-статистику энионов в физике с инвариантами связей в математике. Топологические квантовые теории поля (ТКТП), применимые к передовым исследованиям топологических квантовых материй, включают калибровочные теории Черна — Саймонса — Виттена в пространственно-временных измерениях 2 + 1, другие новые экзотические ТКТП в пространственно-временных измерениях 3 + 1 и за их пределами[38].

Процедуры квантования и перенормировки, описанные в предыдущих разделах, выполняются для свободной теории поля и ϕ4 теории (четырёхкратного взаимодействия) действительного скалярного поля. Аналогичный процесс можно проделать для других типов полей, включая комплексное скалярное поле, векторное поле и поле Дирака, а также для других типов взаимодействующих членов, включая электромагнитное взаимодействие и взаимодействие Юкавы.

Например, квантовая электродинамика содержит поле Дирака ψ представляющее электронное поле, и векторное поле Aμ представляющее электромагнитное поле (фотонное поле). Несмотря на свое название, квантовое электромагнитное «поле» на самом деле соответствует классическому электромагнитному четырёхпотенциалу, а не классическим электрическим и магнитным полям. Полная плотность лагранжиана КЭД равна:

Выше показан пример трёхуровневой диаграммы Фейнмана в КЭД. Она описывает аннигиляцию электрона и позитрона, создание фотона вне массовой оболочки, а затем распад на новую пару электрона и позитрона. Время бежит слева направо. Стрелки, указывающие вперёд во времени, представляют распространение позитронов, а стрелки, указывающие назад во времени, представляют распространение электронов. Волнистая линия представляет распространение фотона. Каждая вершина в диаграммах КЭД Фейнмана должна иметь входящую и исходящую фермионную (позитронную/электронную) ветвь, а также фотонную ветвь.

Если следующее преобразование полей выполняется в каждой точке пространства-времени x (локальное преобразование), то лагранжиан КЭД остаётся неизменным или инвариантным:

U(1) — абелева группа. КТП можно построить для неабелевых групп, которые называют неабелевыми калибровочными теориями[5]. Квантовая хромодинамика — неабелева калибровочная теория с SU(3) группой симметрии. Она описывает дираковкие поля ψi, i = 1,2,3, которые представляют кварковые поля и векторные поля Aa,μ, a = 1,...,8 — глюонные поля, которые являются SU(3) калибровочными бозонами[5]. Лагранжиан КХД имеет вид[5]:

где g — константа связи, ta — восемь генераторов группы SU(3) в фундаментальном представлении (матриц 3×3),

fabc — структурные константы SU(3). По повторяющимся индексам i,j,a происходит неявное суммирование согласно обозначениям Эйнштейна. Этот лагранжиан инвариантен относительно преобразования:

Теоретический фундамент общей теории относительности, принцип эквивалентности, также можно понимать как форму калибровочной симметрии, преобразуя общую теорию относительности в калибровочную теорию, основанную на группе Лоренца[39].

Теорема Нётер утверждает, что каждая непрерывная симметрия, то есть параметр в преобразовании симметрии, являющийся непрерывным, а не дискретным, приводит к соответствующему закону сохранения[5][33]. Например, U(1) симметрии КЭД означает сохранение заряда[40].

Калибровочные преобразования не связывают отдельные квантовые состояния. Скорее, они связывают два эквивалентных математических описания одного и того же квантового состояния. Например, поле фотона Aμ, будучи четырёхвекторным, имеет четыре кажущихся степени свободы, но фактическое состояние фотона описывается его двумя степенями свободы, соответствующими поляризации. Остальные две степени свободы называются «избыточными» — очевидно, разные способы записи Aμ можно связать друг с другом калибровочным преобразованием и, фактически, они описывают одно и то же состояние фотонного поля. В этом смысле калибровочная инвариантность — это не «настоящая» симметрия, а отражение «избыточности» выбранного математического описания[33].

Чтобы учесть избыточность калибровки в формулировке интеграла по траекториям, необходимо выполнить так называемую процедуру фиксации калибровки Фаддеева — Попова. В неабелевых калибровочных теориях такая процедура приводит к возникновению новых полей, называемых «духами». Частицы, соответствующие полям духов, называются частицами-духами, которые не могут быть обнаружены извне[5]. Более строгое обобщение процедуры Фаддеева — Попова задаётся процедурой БРСТ квантования[5].

Спонтанное нарушение симметрии — это механизм, при котором симметрия лагранжиана описываемой им системы нарушается[5].

Чтобы проиллюстрировать механизм, рассмотрим линейную сигма-модель, содержащую N вещественных скалярных полей, описываемых плотностью лагранжиана вида:

где μ и λ — действительные параметры. Теория допускает глобальную симметрию O(N)

Состояние с наименьшей энергией (основное состояние или вакуумное состояние) классической теории представляется любым однородным полем ϕ0, которое удовлетворяет условию

Без ограничения общности, пусть основное состояние находится в N -м направлении:

где k = 1,...,N-1 k = 1,...,N-1 k = 1,...,N-1. Исходная O(N) больше не появляется, а остаётся только подгруппа O(N-1). Большая симметрия до спонтанного нарушения симметрии называется «скрытой» или спонтанно нарушенной[5].

Теорема Голдстоуна утверждает, что при спонтанном нарушении симметрии каждая нарушенная непрерывная глобальная симметрия приводит к появлению безмассового полюя, называемому бозоном Голдстоуна. В приведённом выше примере O(N) имеет N(N-1)/2 непрерывных симметрий (равной размерности его алгебры Ли), а O(N-1) имеет (N-1)(N-2)/2. Число нарушенных симметрий — это разность этих величин N-1, что также соответствует N-1 безмассовым полям πk[5].

С другой стороны, когда калибровочная (в отличие от глобальной) симметрия спонтанно нарушается, образующийся бозон Голдстоуна «съедается» соответствующим калибровочным бозоном, становясь дополнительной степенью свободы для калибровочного бозона. Теорема об эквивалентности бозонов Голдстоуна гласит, что при высокой энергии амплитуда излучения или поглощения продольно поляризованного массивного калибровочного бозона становится равной амплитуде излучения или поглощения бозона Голдстоуна, который был съеден калибровочным бозоном[5].

В КТП ферромагнетизма спонтанное нарушение симметрии может объяснить выравнивание магнитных диполей при низких температурах[33]. В Стандартной модели элементарных частиц, W и Z бозоны, которые иначе были бы безмассовыми в результате калибровочной симметрии, приобретают массы через спонтанное нарушение симметрии благодаря бозону Хиггса. Этот процесс называется механизмом Хиггса[5].

Все экспериментально известные симметрии в природе связывают бозоны с бозонами, а фермионы с фермионами. Теоретики выдвинули гипотезу о существовании типа симметрии, называемой суперсимметрией, которая связывает бозоны и фермионы[5][33].

Стандартная модель подчиняется симметрии Пуанкаре, генераторами которой являются пространственно-временные трансляции Pμ и преобразования Лоренца Jμν[41]. В дополнение к этим генераторам суперсимметрия в (3 + 1) -мерном пространстве включает дополнительные генераторы Qα, называемые суперзарядами, которые сами преобразуются как фермионы Вейля[5][33]. Группа симметрии, порождённой всеми этими генераторами известена как супергруппа Пуанкаре. В общем случае, может существовать более одного набора генераторов суперсимметрии, QαI, I = 1, ..., N QαI, I = 1, ..., N QαI, I = 1, ..., N, которые порождают соответствующую суперсимметрию N = 1 N = 2 и так далее[5][33]. Суперсимметрия также моэно построить в других измерениях[42], в первую очередь в (1 + 1)-пространстве для её применения в теории суперструн[43].

Лагранжиан суперсимметричной теории должен быть инвариантным относительно действия супергруппы Пуанкаре[33]. Примеры таких теорий включают в себя: минимальная Суперсимметричная стандартная модель (МССМ), N = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса[33] и теория суперструн. В суперсимметричной теории у каждого фермиона есть бозонный суперпартнёр и наоборот[33].

Если суперсимметрия превращается в локальную симметрию, то результирующая калибровочная теория является расширением общей теории относительности, называемой супергравитацией[44].

Суперсимметрия — потенциальное решение многих современных проблем физики. Например, проблема иерархии Стандартной модели — почему масса бозона Хиггса не корректируется радиационно (при перенормировке) до очень высокого масштаба, такого как масштаб великого объединения или масштаб Планка, может быть решена путём соотнесения поля Хиггса и его суперпартнера, хиггсино. Радиационные поправки, обусловленные петлями бозона Хиггса в диаграммах Фейнмана, компенсируются соответствующими петлями хиггсино. Суперсимметрия также предлагает ответы на великое объединение всех калибровочных констант связи в Стандартной модели, а также на природу тёмной материи[5][45].

Тем не менее, по состоянию на 2018 год, эксперименты ещё не предоставили доказательств существования суперсимметричных частиц. Если суперсимметрия была истинной симметрией природы, то это должна быть нарушенная симметрия, а энергия нарушения симметрии должна быть выше, чем достижимая в современных экспериментах[5][33].

Теория ϕ4, КЭД, КХД, а также вся Стандартная модель предполагают (3 + 1)-мерное пространство Минковского (3 пространственных и 1 временное измерение) в качестве фона, на котором определяются все квантовые поля. Однако КТП априори не накладывает ограничений ни на количество измерений, ни на геометрию пространства-времени.

В физике конденсированного состояния КТП используется для описания (2 + 1)-мерных электронных газов[46]. В физике высоких энергий, теории струн представляет собой тип (1 + 1)-мерной КТП, [33]:452[25], в то же время теория Калуцы — Клейна использует гравитацинную силу в дополнительных измерениях, чтобы приёти к калибровочным теориям в более низких измерениях[33]:428-429.

В пространстве Минковского плоская метрика ημν используется для повышения и понижения индексов пространства-времени в лагранжиане, заданному по следующему правилу

где ημν — обратная к ημν удовлетворяющая соотношению ημρηρν = δμν. С используется общая метрика (такая как метрика Шварцшильда, описывающая метрику чёрной дыры):

где gμν — величина, обратная к gμν. Для реального скалярного поля плотность лагранжиана на общем пространственно-временном фоне равна

где g = det(gμν), а символ μ обозначает ковариантную производную[47]. Лагранжиан КТП, а следовательно, и результаты его расчётов и физические предсказания, зависят от геометрии пространства-времени.

Используя теорию возмущений, общий эффект малого члена взаимодействия можно аппроксимировать разложением в ряд по числу виртуальных частиц, участвующих во взаимодействии. Каждый член в расширении можно понимать как один из возможных способов взаимодействия (физических) частиц друг с другом через виртуальные частицы, визуально выраженный с помощью диаграммы Фейнмана. Электромагнитная сила между двумя электронами в КЭД представлена (в первом порядке теории возмущений) распространением виртуального фотона. Аналогичным образом бозоны W и Z переносят слабое взаимодействие, а глюоны переносят сильное взаимодействие. Интерпретация взаимодействия как суммы промежуточных состояний, включающих обмен различными виртуальными частицами, имеет смысл только в рамках теории возмущений. Напротив, непертурбативные методы в КТП рассматривают взаимодействующий лагранжиан как единое целое без какого-либо разложения в ряд. Вместо частиц, несущих взаимодействия, эти методы породили такие концепции, как монополь 'т Хофта – Полякова, доменная стенка, трубка потока и инстантон[11]. Примеры КТП, которые полностью разрешимы непертурбативно, включают минимальные модели конформной теории поля[48] и модель Тирринга[49].

Несмотря на ошеломляющий успех в физике элементарных частиц и физике конденсированного состояния, самой КТП не хватает формальной математической основы. Например, согласно теореме Хаага, не существует чётко определённой картины взаимодействия для КТП, что означает, что теория возмущений КТП, лежащая в основе всего метода диаграмм Фейнмана, в корне не определена[50].

Однако пертурбативная квантовая теория поля, которая требует только вычисления величин как формальных степенных рядов без каких-либо требований сходимости, может быть подвергнута строгой математической трактовке. В частности, монография Кевина Костелло «Перенормировка и эффективная теория поля» (англ. Renormalization and Effective Field Theory)[51] обеспечивает строгую формулировку пертурбативной перенормировки, которая сочетает в себе подходы теории эффективного поля Каданова, Вильсона и Полчинского, а также подход Баталина — Вилковиского к квантованию калибровочных теорий. Более того, пертурбативные методы интегралов по траекториям, обычно понимаемые как формальные вычислительные методы, вдохновлённые конечномерной теорией интегрирования[52] могут получить надёжную математическую интерпретацию на основе их конечномерных аналогов[53].

С 1950-х годов[54] физики-теоретики и математики пытались сформулировать КТП в виде набора аксиом, чтобы математически строгим образом установить существование конкретных моделей релятивистских КТП и изучить их свойства. Это направление исследований называется конструктивной квантовой теорией поля, подразделом математической физики, которое привело к таким результатам, как теорема CPT, теорема спин-статистики и теорема Голдстоуна[54], а также к математически строгим конструкциям многих КТП с взаимодействием в двух и трёх измерениях пространства-времени, например, двумерных скалярных теорий поля с произвольными полиномиальными взаимодействиями[55], трёхмерных скалярных теорий поля с взаимодействием четвёртой степени и так далее[56].

По сравнению с обычной КТП, топологическая квантовая теория поля и конформная теория поля корректно поддерживаются математически — обе могут быть классифицированы в рамках представлений кобордизмов[57].

Алгебраическая квантовая теория поля — это ещё один подход к аксиоматизации КТП, в котором фундаментальными объектами являются локальные операторы и алгебраические отношения между ними. Аксиоматические системы, следующие этому подходу, включают аксиомы Вайтмана и аксиомы Хаага — Кастлера[58]. Один из способов построить теории, удовлетворяющих аксиомам Вайтмана является использование аксиом Остервальдера — Шредера, которые дают необходимые и достаточные условия для теории в реальном времени, для вывода из теории с мнимым временем с помощью аналитического продолжения (поворота Вика)[58]:10.

Существование Янга — Миллса и разрыв между массами, одна из проблем, связанных с Премией тысячелетия, касается чётко определённого существования теорий Янга — Миллса, изложенных вышеупомянутыми аксиомами[59].