Каноническое преобразование

В гамильтоновой механике каноническое преобразование (также контактное преобразование) — это преобразование канонических переменных, не меняющее общий вид уравнений Гамильтона для любого гамильтониана. Канонические преобразования могут быть введены и в квантовом случае как не меняющие вид уравнений Гейзенберга. Они позволяют свести задачу с определённым гамильтонианом к задаче с более простым гамильтонианом как в классическом, так и в квантовом случае. Канонические преобразования образуют группу.

Из инвариантности интеграла Пуанкаре-Картана и теореме Ли Хуа-чжуна о его единственности можно получить:

Канонические преобразования, дополненные этим условием называют свободными.

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

Таким образом, разделение канонических переменных на координаты и импульсы с математической точки зрения является условным.

4. Точечные преобразования (преобразования при которых новые координаты выражаются только через старые координаты и время, но не старые импульсы.)

Необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Пуассона:

и говорят, что скобки Пуассона инвариантны относительно таких преобразований. Иногда канонические преобразования так определяют (при этом каноническими преобразованиями считают только унивалентные).

Аналогично, необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Лагранжа: