Интегралы движения

Интегралы движения, обладающие аддитивностью или асимптотической аддитивностью, называются законами сохранения.

Интегралы движения полезны потому, что некоторые свойства этого движения можно узнать даже без интегрирования уравнений движения. В наиболее успешных случаях траектории движения представляют собой пересечение изоповерхностей соответствующих интегралов движения. Например, построение Пуансо показывает, что без крутящего момента вращение твердого тела представляет собой пересечение сферы (сохранение полного углового момента) и эллипсоида (сохранение энергии) — траекторию, которую трудно вывести и визуализировать. Поэтому нахождение интегралов движения — важная цель в механике.

При свободном (без внешних сил) движении идеальной (нет диссипации, вязкость отсутствует) несжимаемой (объём любой части сохраняется) жидкости сохраняются следующие величины:

В идеальной магнитной гидродинамике первый интеграл (полная энергия, как сумма кинетической энергии жидкости и энергии магнитного поля) сохраняется, второй (гидродинамическая спиральность) пропадает, но появляется два других интеграла движения:

Наблюдаемая величина Q сохраняется, если она коммутирует с гамильтонианом H, который не зависит явным образом от времени. Поэтому

а также имеется волновая функция, которая является решением соответствующего уравнения Шрёдингера

Все остальные квантовые системы проявляют в той или иной степени признаки квантового хаоса. Классические хаотические системы допускают квантование в том смысле, что может быть корректно определено их пространство состояний и гамильтониан, однако как и классические хаотические системы, так и квантовые, по-видимому, не допускают точного решения. Их можно исследовать приближёнными методами, такими как теория возмущений и вариационный метод, а также исследованы численно методами молекулярной динамики в классическом случае или численной диагонализации гамильтониана в квантовом случае.