Законы Кеплера

Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает собой равные площади.

Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.

Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает также, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет.

Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определённой массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты:

Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.

Рассмотрим планету как точку массой m, вращающейся по эллиптической орбите, в двух положениях:

Решая систему, нетрудно получить соотношение на скорость планеты в точке "перигелий":

Выразим секторную скорость (которая по второму закону Кеплера является постоянной величиной):

Вычислим площадь эллипса, по которому движется планета. С одной стороны:

С другой стороны, воспользовавшись тем, что для вычисления площади сектора можно перемножить секторную скорость на период оборота:

Для дальнейших преобразований воспользуемся геометрическими свойствами эллипса. Имеем соотношения