Генераторы группы

причём, слагаемые пропорциональные квадратам параметров нарушили бы указанное выше свойство этой функции, поэтому они отсутствуют в разложении.

Правая же часть может быть представлена следующим образом (используя разложение представления и разложение функции f)

где пропущены несмешанные члены второго порядка в силу очевидного их совпадения с левой частью. Очевидно совпадают и члены первого порядка. Нетривиальным оказываются соотношения для смешанных членов второго порядка. А именно, для равенства левой и правой частей групоового условия для представления U необходимо выполнение соотношения

Такой набор коммутационных соотношений и представляет собой алгебру Ли. Таким образом, генераторы группы порождают алгебру Ли.

Эти коммутационные соотношения являются единственным условием, гарантирующим рекуррентное выражение операторов, появляющихся в разложении представления группы в членах второго и большего порядка. Таким образом, все члены разложения можно будет выразить через генераторы. Это означает, что операторы представления группы по крайней мере в некоторой окрестности единичного элемента можно однозначно выразить через генераторы группы.

Такое отображение алгебры Ли в группу Ли называется экспоненциальным отображением.