Гамильтониан (квантовая механика)

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от , проверенной 14 января 2020; проверки требует .

Его спектр — это множество возможных значений при измерении полной энергии системы. Спектр гамильтониана может быть дискретным или непрерывным. Также может быть ситуация (например, для кулоновского потенциала), когда спектр состоит из дискретной и непрерывной части.

Так как энергия — вещественная величина, гамильтониан является самосопряжённым оператором.

Это уравнение называется уравнением Шрёдингера (оно выглядит так же, как и уравнение Гамильтона — Якоби в классической механике). Зная состояние в начальный момент времени (t = 0), мы можем решить уравнение Шрёдингера и получить вектор состояния в любой последующий момент времени. В частности, если H не зависит от времени, то

Оператор экспоненты в правой части уравнения Шрёдингера определяется через степенной ряд по H.

унитарен. Это оператор временной эволюции, или пропагатор замкнутой квантовой системы.

Если у частицы нет потенциальной энергии, то гамильтониан самый простой. Для одного измерения:

Для частицы в постоянном потенциале V = V0 (нет зависимости от координаты и времени) в одном измерении гамильтониан такой:

Для простого гармонического осциллятора в одном измерении потенциал зависит от координаты (но не от времени) как

В классической теории поля роль обобщённых координат играют функции поля в каждой точке пространства-времени, в квантовой теории поля они становятся операторами. Для системы взаимодействующих полей гамильтониан представляет собой сумму операторов энергии свободных полей и энергии их взаимодействия. В отличие от лагранжиана, гамильтониан не даёт явно релятивистски-инвариантного описания системы — энергия в разных инерциальных системах отсчёта различна, хотя для релятивистских систем эта инвариантность может быть доказана.