Численные методы

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от , проверенной 16 апреля 2021; проверки требует .

Численные (вычислительные) методы — методы решения математических задач в численном виде[1].

Представление как исходных данных в задаче, так и её решения — в виде числа или набора чисел.

Многие численные методы являются частью библиотек математических программ[2]. В системе подготовки инженеров технических специальностей являются важной составляющей.

Все задачи вычислительной математики решаются в следующей последовательности[3]:

Для определения величины погрешности пользуются понятиями абсолютной и относительной погрешности, а также предельной абсолютной и относительной погрешности, при этом теория погрешностей определяет изменение величин погрешностей при различных арифметических действиях[9]. Наряду с методами точной оценки погрешностей, в результате которых определяются предельные величины погрешностей, используют статистические методы, позволяющие определить возможность достижения отдельных погрешностей[10], а также учитывают математические характеристики случайных ошибок, связанных с отклонением от заданных условий опыта, когда по нескольким результатам измерения физической величины определяется её приближённое значение[11].

Несмотря на показанное существование многочлена наилучшего приближения, способов его точного построения не существует. Вместо этого используют несколько способов приближённого построения многочленов наилучшего равномерного приближения[31].

Во многих случаях требование равномерного приближения является избыточным и достаточно «интегральной» близости функций, кроме того значения приближённых функций, полученные из эксперимента, несут на себе случайные погрешности, а требовать совпадения приближающей и приближаемой функции, если последняя содержит неточности, нецелесообразно. Метод среднеквадратичного приближения принимает за меру близости следующую величину

что позволяет отказаться от интерполяции подынтегральной функции и требования непрерывности, сохранив только требования интегрируемости с квадратом[32].

Производную основной функции считают приближённо равной производной интерполирующей функции, при этом производная остаточного члена интерполяционной формулы может быть велика, особенно для производных высших порядков[34]. Формулы численного дифференцирования во многом основаны на непосредственном дифференцировании интерполяционных формул Ньютона[35], Гаусса, Стирлинга и Бесселя[36], построенных на распределённых разностях, но есть и безразностные формулы. В частности, когда для численного дифференциала используется непосредственно формула Лагранжа для равных промежутков[37], метод неопределённых коэффициентов и другие[38].

В случае интегрирования, само определение интеграла говорит о возможности его замены интегральной суммой, но этот приём обладает медленной сходимостью и мало пригоден. Интеграл от основной функции считают приближённо равным интегралу от интерполирующей функции и в дальнейшем используют интерполяционные формулы с кратными узлами[39]. Использование в качестве подынтегрального выражения интерполяционного многочлена Лагранжа для равных промежутков приводит к формулам Ньютона — Котеса[40] и её частным случаям, формуле трапеций, когда кривая подынтегрального выражения заменяется хордой и интеграл равен площади трапеции, и формуле Симпсона, когда кривая подынтегрального выражения заменяется параболой, проходящей через три точки[41]. Отказавшись от требования равных промежутков с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа можно получить более точные формулы численного интегрирования, в частности формулы Гаусса[42], формулы Эрмита[43], формулы Маркова[44], формулы Чебышёва[45]. Квадратурные процессы, построенные на интерполяционных формулах Гаусса, всегда сходятся, в то время как формулы Ньютона — Котеса этим свойствам в общем случае не обладают[46].

Существуют и другие способы численного интегрирования, основным из которых является использование формул Эйлера, в которых замена переменных и последующее интегрирование по частям приводят к формуле численного интегрирования трапецией и поправочного члена, к которому повторно применяется замена переменных и интегрирование по частям. В общем случае формула Эйлера использует в качестве коэффициентов числа и многочлены Бернулли[47]. Вопрос применения того или иного метода численного интегрирования зависит от таких факторов, как вычислительные средства, требуемая точность, способ задания подынтегральной функции. Для ручных вычислений рекомендуется использовать формулы, содержащие разности, в то время как при автоматических вычислениях — безразностные формулы, в особенности формулы Гаусса[48].

Для приближённого вычисления кратных интегралов повторно применяют формулы численного интегрирования однократных интегралов, при этом в зависимости от особенностей функции для разных интегралов можно использовать разные формулы. При использовании данного метода необходимо вычислять подынтегральную функцию в большом числе точек, поэтому целесообразно использовать формулы Гаусса и Чебышёва, которые являются более точными[49]. Другим способом является замена подынтегральной функции интерполяционным многочленом от двух или несколько переменных[50]. Люстерник и Диткин предложили использовать формулы Маклорена для приближённого вычисления кратного интеграла[51]. Вместе с тем, при увеличении кратности интеграла резко растёт число точек, для которых необходимо знать значения подынтегральной функции, чтобы пользоваться методами, основанными на интерполяции. Для вычисления кратных интегралов чаще пользуются вероятностными методами Монте-Карло, при этом необходимость получения равновозможных последовательностей создаёт дополнительные погрешности, которые трудно оценить[52].

Существует две группы методов решения систем линейных алгебраических уравнений: точные методы позволяют с помощью конечного числа операций получить точные значения неизвестных и включают преобразование системы к простому виду и решение упрощённой системы; методы последовательных приближений на основе начальных приближений позволяют получить «улучшенные» приближённые значения, для которых следует последовательно повторить операцию «улучшения»; методы Монте-Карло позволяют на основании математического ожидания случайных величин получить решение системы[53].

В случае последовательных приближений используется рекуррентная формула

Решение алгебраических уравнений высших степеней и трансцендентных уравнений

Итерационные методы решения алгебраических уравнений делятся на стационарные, когда функции ставится в соответствие другая функция с теми же корнями, не зависящая от номера итерации[78], и нестационарные, когда функция может зависеть от номера итерации. К простейшим стационарным итерационным методам относят метод секущих (или метод линейного интерполирования) и метод касательных (или метод Ньютона), которые являются методами первого и второго порядка, соответственно. Комбинация этих методов, при которой последовательные приближения лежат по разные стороны от корня, позволяет достичь более быстрой сходимости[79]. Метод Чебышева, основанный на разложении обратной функции по формуле Тейлора, позволяет построить методы более высоких порядков, обладающие очень быстрой сходимостью[80]. Существуют также метод, основанный на теореме Кёнига[81], и метод Эйткена[82]. Для доказательства сходимости итерационных методов используется принцип сжатых отображений[83].