Аффинное пространство

Аффи́нное простра́нство — математический объект (пространство), обобщающий некоторые свойства евклидовой геометрии. В отличие от векторного пространства, аффинное пространство оперирует с объектами не одного, а двух типов: «векторами» и «точками».

Пересечение аффинных подпространств также является аффинным подпространством либо пусто. Если оно не пусто, то его размерность удовлетворяет соотношению

Аффинное подпространство, которому соответствует подпространство коразмерности 1, называется гиперплоскостью.

Часто рассматриваются аффинные подпространства линейного пространства (снабжённого стандартной аффинной структурой — действием на себе сложением). Они иногда называются линейными многообразиями[2][3].

Такое аффинное подпространство является линейным подпространством тогда и только тогда, когда оно содержит 0.

Возможно рассматривать[4] произвольные линейные комбинации точек аффинного пространства. Однако результат обретает смысл в следующих двух случаях:

Условию аффинной независимости точек можно придать иную форму: справедливо предложение, по которому точки аффинного пространства аффинно независимы тогда и только тогда, когда не существует нетривиальной сбалансированной комбинации данных точек, равной нулевому вектору[6].

Размерность аффинного пространства равна[7] по определению размерности соответствующего пространства свободных векторов. При этом число точек в максимальном аффинно независимом множестве точек аффинного пространства оказывается на единицу больше размерности пространства.

Любое из максимальных аффинно независимых множеств точек аффинного пространства можно трактовать как точечный базис (перенумеровав данные точки тем или иным способом).

Всякую точку пространства можно представить в виде барицентрической комбинации точек, входящих в точечный базис; коэффициенты этой комбинации называют[8] барицентрическими координатами рассматриваемой точки.